Inn(G), i surj. Gruppenhomom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | G sei eine Gruppe. [mm] i_a:G\rightarrow [/mm] G, g [mm] \rightarrow aga^{-1} [/mm] ist Automorphismus, [mm] Inn(G)=\{i_a | a\in G\} [/mm] ist Untergruppe der Automorphismengruppe AutG.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
i: G [mm] \rightarrow [/mm] Inn(G), [mm] g\rightarrow i_g
[/mm]
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist und dass [mm] Inn(G)\cong [/mm] G \ Ze(G) gilt. Dabei ist Ze(G) das Zentrum von G. |
Hallo,
ich weiß nicht recht ob ich diese Abbildung i richtig verstehe.
Sie bildet also Gruppenelemente auf eine Abbildung aus Inn(G) ab. Also quasi [mm] i(g)=i_g, [/mm] wobei [mm] i_g(g)=ggg^{-1} [/mm] wäre. Richtig?
Wie zeigt man denn aber bei so einer Abbildung, dass sie ein Homomorphismus ist? Ich hätte das jetzt so gemacht:
Seien g,h [mm] \in [/mm] G.
[mm] \Rightarrow i(gh)=i_gi_h=i(g)i(h).
[/mm]
Aber das sieht mir ein bisschen zu kurz aus um richtig zu sein 
Liegt der Fehler schon darin, dass ich die Abbildung falsch verstanden habe?
Danke für alle Hinweise und Tips im Voraus und beste Grüße
vom congo.
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> G sei eine Gruppe. [mm]i_a:G\rightarrow[/mm] G, g [mm]\rightarrow aga^{-1}[/mm]
> ist Automorphismus, [mm]Inn(G)=\{i_a | a\in G\}[/mm] ist Untergruppe
> der Automorphismengruppe AutG.
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
>
> i: G [mm]\rightarrow[/mm] Inn(G), [mm]g\rightarrow i_g[/mm]
>
> ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist und dass
> [mm]Inn(G)\cong[/mm] G \ Ze(G) gilt. Dabei ist Ze(G) das Zentrum von
> G.
> Hallo,
>
> ich weiß nicht recht ob ich diese Abbildung i richtig
> verstehe.
> Sie bildet also Gruppenelemente auf eine Abbildung aus
> Inn(G) ab. Also quasi [mm]i(g)=i_g,[/mm] wobei [mm]i_g(g)=ggg^{-1}[/mm]
> wäre. Richtig?
Hallo,
und [mm] i_g(x)=gxg^{-1} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] G.
>
> Wie zeigt man denn aber bei so einer Abbildung, dass sie
> ein Homomorphismus ist? Ich hätte das jetzt so gemacht:
>
> Seien g,h [mm]\in[/mm] G.
> [mm]\Rightarrow i(gh)=i_gi_h=i(g)i(h).[/mm]
Daß das gilt, ist ja erst zu zeigen.
Zunächst sehe ich nur, daß [mm] i(gh)=i_g_h [/mm] und daß [mm] i(g)\circ i(h)=i_g\circ i_h.
[/mm]
Nun mußt Du die Gleichheit dieser Funktionen vorrechnen.
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> Aber das sieht mir ein bisschen zu kurz aus um richtig zu
> sein
>
> Liegt der Fehler schon darin, dass ich die Abbildung falsch
> verstanden habe?
Die Abbildung hast Du richtig verstanden.
Gruß v. Angela
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