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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 18.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Zeige für M [mm] \subset \IR^{n}:
[/mm]
1) M (Innen) [mm] =\{x \in \IR^{n}| M \mbox{ist Umgebung von x}\}
[/mm]
2) [mm] \overline{M}=\{x \in \IR^{n}| \mbox{M hat nichtleeren Durchschnitt mit jeder Umgebung von x}\} [/mm] |
hallo zusammen,
ich habe bei der Aufgabe einige Startschwierigkeiten bzw wie ich es zeigen soll und hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
zu 1): das innere ist folgend definiert, dass sie offen ist und es gilt [mm] M\backslash \partial [/mm] M. M heißt Umgebung von x wenn es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] ex, sodass die offene Kugel [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] M
Kann ich dann annehmen, weil es in der aufgabe nicht steht, aber weil wir in der Vorlesung definiert haben, dass M (Innen) die Menge M ohne den Rand ist und somit folgt das M(Innen) offen ist. Es gilt dann [mm] B_{\varepsilon}(x) \cap (\IR^n\backslash [/mm] M) [mm] =\emptyset
[/mm]
ist es bis dahin richtig oder liege ich komplett falsch? Ist das erste damit schon gezeigt?
zu 2): [mm] \overline{M} [/mm] ist definiert mit M [mm] \cup \partial [/mm] M. Da M mit jeder Umgebung von x keinen leeren Durschnitt hat, dann gilt M [mm] \cap (\IR^{n} \backslash [/mm] M) [mm] \not= \emptyset, [/mm] d.h x liegt in M und im Rand. wurde es dann gezeigt dass 2) gilt?
Falls ich falsch liege korrigiert mich bitte. ich bin für jede Hilfe dankbar.
gruß,
mimo1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Fr 18.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeige für M [mm]\subset \IR^{n}:[/mm]
> 1) M (Innen) [mm]=\{x \in \IR^{n}| M \mbox{ist Umgebung von x}\}[/mm]
>
> 2) [mm]\overline{M}=\{x \in \IR^{n}| \mbox{M hat nichtleeren Durchschnitt mit jeder Umgebung von x}\}[/mm]
>
> hallo zusammen,
> ich habe bei der Aufgabe einige Startschwierigkeiten bzw
> wie ich es zeigen soll und hoffe ihr könnt mir dabei
> helfen.
>
> zu 1): das innere ist folgend definiert, dass sie offen ist
> und es gilt [mm]M\backslash \partial[/mm] M.
Das ist doch vollkommen unverstaendlich!
> M heißt Umgebung von x
> wenn es ein [mm]\varepsilon>0[/mm] ex, sodass die offene Kugel
> [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] M
> Kann ich dann annehmen, weil es in der aufgabe nicht steht,
> aber weil wir in der Vorlesung definiert haben,
Selbstverstaendlich kannst Du die Vorlesung benutzen. Ich wuerde sogar noch einen Schritt weitergehen und sagen, dass Du sie benutzen werden musst!
> dass M
> (Innen) die Menge M ohne den Rand ist und somit folgt das
> M(Innen) offen ist. Es gilt dann [mm]B_{\varepsilon}(x) \cap (\IR^n\backslash[/mm]
> M) [mm]=\emptyset[/mm]
Wenn ihr bereits gezeigt habt, oder Du zeigen kannst, dass $M$(Innen) offen ist, dann kannst Du es benutzen, ja.
>
> ist es bis dahin richtig oder liege ich komplett falsch?
> Ist das erste damit schon gezeigt?
Wenn Du so fragst, dann lautet die Antwort ganz klar Nein.
Es sind doch zwei Relationen zu zeigen: Die rechte Menge ist Teilmenge der linken und die linke Menge ist Teilmenge der rechten. Versuche dies zu tun.
>
> zu 2): [mm]\overline{M}[/mm] ist definiert mit M [mm]\cup \partial[/mm] M. Da
> M mit jeder Umgebung von x keinen leeren Durschnitt hat,
> dann gilt M [mm]\cap (\IR^{n} \backslash[/mm] M) [mm]\not= \emptyset,[/mm]
> d.h x liegt in M und im Rand. wurde es dann gezeigt dass 2)
> gilt?
Verstehe ich nicht: Ist $x$ beliebig? Wie erklaerst Du Deine Schlussfolgerungen.
>
> Falls ich falsch liege korrigiert mich bitte. ich bin für
> jede Hilfe dankbar.
>
> gruß,
> mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 18.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe es nochmal probiert und hoffe das ich es jetzt verstanden habe:
zu 1) Zz M (Innen)=M
i)M(innen) [mm] \subset [/mm] M und ii) M [mm] \subset [/mm] M(innen)
zu i) Sei [mm] a\in [/mm] M(innen) [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M, a [mm] \not\in \partial [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] M(innen) [mm] \subset [/mm] M
zu ii) Sei M Umgebung von a [mm] \in \IR^{n}, [/mm] d.h es gibt ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] B_{\varepsilon} \subset [/mm] M. Da M(innen) offen ist, ist M(innen) Umgebung alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit [mm] \delta [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] + ||a-x||, d.h. a [mm] \in B_{\delta}(x), [/mm] damit ist M [mm] \subset [/mm] M(innen)
damit ist M(innen)=M
zu 2) a [mm] \in \overline{M} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M oder a [mm] \in \partial [/mm] M
ich komme leider nicht weiter. ist es bis jetzt richtig was ich geschrieben habe. Ich möchte es wirklich verstehen, sonst würde ich nicht dauern nachfragen und probieren. Ich bin für jede Hilfe dankbar
gruß, mimo1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Sa 19.04.2014 | | Autor: | hippias |
> ich habe es nochmal probiert und hoffe das ich es jetzt
> verstanden habe:
>
> zu 1) Zz M (Innen)=M
Nicht fuer ungut, aber das ist doch ueberhaupt nicht die Aufgabenstellung!
> i)M(innen) [mm]\subset[/mm] M und ii) M [mm]\subset[/mm] M(innen)
>
> zu i) Sei [mm]a\in[/mm] M(innen) [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M, a [mm]\not\in \partial[/mm]
> M [mm]\Rightarrow[/mm] M(innen) [mm]\subset[/mm] M
>
> zu ii) Sei M Umgebung von a [mm]\in \IR^{n},[/mm] d.h es gibt ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\varepsilon} \subset[/mm] M. Da M(innen)
> offen ist, ist M(innen) Umgebung alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm] mit
> [mm]\delta[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm] + ||a-x||, d.h. a [mm]\in B_{\delta}(x),[/mm]
> damit ist M [mm]\subset[/mm] M(innen)
>
> damit ist M(innen)=M
s.o.
>
>
> zu 2)
Es sind wieder 2 Dinge nachzuweisen: [mm] $\bar{M}\subseteq$ [/mm] rechte Seite und rechte Seite [mm] $\subseteq \bar{M}$. [/mm] Wir fangen mit der ersten Inklusion an. Dazu sei
> a [mm]\in \overline{M} \Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M [mm]\cup \partial[/mm]
> M [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M oder a [mm]\in \partial[/mm] M
>
Ferner sei $U$ eine beliebige Umgebung von $a$. Z.z. ist, dass [mm] $U\cap M\neq \emptyset$ [/mm] ist. Nach deiner Vorarbeit bietet sich eine Fallunterscheidung an.
1. Fall: [mm] $a\in [/mm] M$. Wieso folgt nun - trivialerweise - dass [mm] $U\cap M\neq \emptyset$ [/mm] ist?
2. Fall: [mm] $a\in \partial [/mm] M$. Wie lautet die Definition des Randes? Schlussfolgere daraus, dass ebenfalls [mm] $U\cap [/mm] M$nicht leer ist.
Wenn Du das hast, dann liegt Dein beliebiges [mm] $a\in \bar{M}$ [/mm] in der rechten Menge.
Jetzt die Umkehrung: Es sei $a$ dergestalt, dass [mm] $M\cap U\neq \epmtyset$ [/mm] fuer jede Umgebung von $a$ ist. Z.z. ist, dass [mm] $a\in \bar{M}$ [/mm] ist. Arbeite dafuer wieder mit der Definition des Randes.
> ich komme leider nicht weiter. ist es bis jetzt richtig was
> ich geschrieben habe. Ich möchte es wirklich verstehen,
> sonst würde ich nicht dauern nachfragen und probieren. Ich
> bin für jede Hilfe dankbar
>
> gruß, mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 19.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich werde es nochmal versuchen.
also zu 1) z.z [mm] M^{\circ} \subseteq [/mm] rechte seite und rechte seite [mm] \subseteq M^{\circ}
[/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] sei a [mm] \in M^{°} \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash \partial [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M, a [mm] \not\in \partial [/mm] M, d.h M offen [mm] \Rightarrow [/mm] M ist Umgebung von a
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Sei M Umgebung von a, dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit [mm] B_{\varepsilon}(a) \subset [/mm] M
zu 2) [mm] "\Rightarrow": [/mm] Fall 1 gilt weil M mit jeder Umgebung von a keinen leeren Durschnitt hat
Fall 2: a [mm] \in \partial [/mm] M, d.h Jede Umgebung von a ist Pkt. in M und [mm] M^{c}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \cap [/mm] M [mm] \not= \emptyset
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Es sei a der gestalt, dass M [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \emptyset [/mm] für jede Umgebung von a. dann ist a [mm] \in [/mm] M und a [mm] \in \partial [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \overline{M}
[/mm]
Ist es jetzt richtig?
sorry das ich mich evtl. dumm anstelle, aber ich mache dass nicht um jemand damit auf die nerven zugehen oder jemanden zu ärgern. bei mir dauert es immr etwas länger bei solchen aufgaben.
Daher bin ich wirklich für jede hilfe dankbar. danke für eure Geduld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 20.04.2014 | | Autor: | hippias |
> ich werde es nochmal versuchen.
>
> also zu 1) z.z [mm]M^{\circ} \subseteq[/mm] rechte seite und rechte
> seite [mm]\subseteq M^{\circ}[/mm]
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] sei a [mm]\in M^{°} \Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M
> [mm]\backslash \partial[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M, a [mm]\not\in \partial[/mm]
> M, d.h M offen
Wieso sollte $M$ offen sein? Das ist nicht vorausgesetzt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist Umgebung von a
Was musst Du zeigen, damit $M$ eine Umgebung von $a$ ist? Mache Dir klar, dass es funktioniert, weil $a$ aus dem inneren von $M$ gewaehlt ist.
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] Sei M Umgebung von a, dann gibt es ein
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 mit [mm]B_{\varepsilon}(a) \subset[/mm] M
>
Ja. Schlussfolgerung?
>
> zu 2) [mm]"\Rightarrow":[/mm] Fall 1 gilt weil M mit jeder Umgebung
> von a keinen leeren Durschnitt hat
Fall 1. gilt, weil wir Fall 1 vorausgesetzt haben. Du sollst Dir vielmehr ueberlegen, weshalb unter der Voraussetzung von Fall 1 jede Umgebung von $a$ mit $M$ einen nicht leeren Schnitt hat. Nicht umgekehrt.
Dies gilt trivialerweise, weil der Fall 1 besagt, dass [mm] $a\in [/mm] M$ ist. Folglich ist [mm] $a\in M\cap [/mm] U$, also [mm] $M\cap U\neq \emptyset$, [/mm] fuer jede Umgebung von $a$.
>
> Fall 2: a [mm]\in \partial[/mm] M, d.h Jede Umgebung von a ist Pkt.
> in M und [mm]M^{c}[/mm]
Aha. Jede Umgebung von $a$ ist also Pkt. in $M$ und [mm] $M^{c}$. [/mm] Kann ich nicht beurteilen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M
Dieser Schluss ist mir unklar. Im allgemeinen duerfte er auch nicht richtig sein, da der Abschluss groesser als $M$ werden kann.
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\cap[/mm] M [mm]\not= \emptyset[/mm]
Du meinst es richtig, aber schreibe es auh vernuenftig auf.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Es sei a der gestalt, dass M [mm]\cap[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> für jede Umgebung von a. dann ist a [mm]\in[/mm] M
Wieso?
> und a [mm]\in \partial[/mm]
> M
Wieso?
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] M [mm]\cup \partial
> [/mm] M
Wenn [mm] $a\in [/mm] M$ und [mm] $a\in \partial [/mm] M$ waere, dann haettest Du [mm] $a\in M\cap \partial [/mm] M$.
> [mm] \Rightarrow[/mm] a [mm]\in \overline{M}[/mm]
>
> Ist es jetzt richtig?
> sorry das ich mich evtl. dumm anstelle, aber ich mache dass
> nicht um jemand damit auf die nerven zugehen oder jemanden
> zu ärgern. bei mir dauert es immr etwas länger bei
> solchen aufgaben.
> Daher bin ich wirklich für jede hilfe dankbar. danke für
> eure Geduld.
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Di 22.04.2014 | | Autor: | hippias |
Du hattest den zweiten Teil ja schon fast fertig. So wie Du angefangen hast, koennte man es so zeigen:
1. Sei [mm] $a\in \bar{M}$ [/mm] und $U$ eine beliebige Umgebung von $a$. Zu zeigen ist [mm] $U\cap M\neq \emptyset$.
[/mm]
Wegen [mm] $\bar{M}= M\cup \partial [/mm] M$ Fallunterscheidnung.
i) [mm] $a\in [/mm] M$: Dann ist [mm] $a\in M\cap [/mm] U$, also [mm] $U\cap M\neq \emptyset$.
[/mm]
ii) [mm] $a\in \partial [/mm] M$: Nach Definition von [mm] $\partial [/mm] M$ gilt fuer jede Umgebung $V$ von $a$, dass [mm] $V\cap M\neq \emptyset\neq V\cap M^{c}$. [/mm] Also gilt insbesondere fuer $U$, dass [mm] $M\cap U\neq \emptyset$.
[/mm]
Es ist also stets [mm] $U\cap M\neq \emptyset$.
[/mm]
2. Sei $a$ so, dass [mm] $U\cap M\neq \emptyset$ [/mm] fuer alle Umgebungen $U$ von $a$. Zu zeigen ist, dass [mm] $a\in \bar{M}$.
[/mm]
Wegen [mm] $\bar{M}= M\cup \partial [/mm] M$ kann man zusaetzlich voraussetzen, dass [mm] $a\not\in [/mm] M$ ist. Zu zeigen bleibt nun noch, dass [mm] $a\in \partial [/mm] M$ folgt.
Nach Definition ist [mm] $\partial [/mm] M= [mm] \{x|$ fuer jede Umgebung $V$ von $x$ ist $V\cap M\neq \emptyset\neq V\cap M^{c}$ $\}$. [/mm] Sei $U$ beliebige Umgebung von $a$. Nun gilt nach Voraussetzung, dass [mm] $U\cap M\neq \emptyset$. [/mm] Andererseits ist nach Zusatzvoraussetzung [mm] $a\in U\cap M^{c}$, [/mm] also auch ist [mm] $U\cap M^{c}\neq \emptyset$.
[/mm]
Damit ist [mm] $a\in \partial [/mm] M$ gezeigt.
Insgesamt ist somit [mm] $a\in [/mm] M$ oder [mm] $a\in \partial [/mm] M$, sodass [mm] $a\in M\cup \partial [/mm] M= [mm] \bar{M}$ [/mm] ist.
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