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| Aufgabe | Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Grundseite von 6 cm und eine Höhe von 9 cm.
Welchen Radius hat der Innenkreis dieses Dreiecks?
LÖSUNG:
Der Mittelpunkt des gesuchten Innenkreis ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Weil man mit dem Taschenrechner den Winkel zu einem Tangens, die Hälfte dieses Winkels und davon wiederum den Tangens leicht ermitteln kann, kriegt man das Ergebnis schnell raus (siehe unten).
PROBLEM:
Was ist aber, wenn man diese oben gegebenen zahlenmäßigen Werte gar nicht hat, weil man sie z.B. aufgrund einer Extremwertaufgabe sucht? Wie soll das dann gehen (mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken und dem Satz des Pythagoras?)? |
[mm] \bruch{9}{3} [/mm] = tan [mm] \alpha \Rightarrow \alpha [/mm] = 71.56°
[mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] = 35.78°
tan 35.78° = [mm] \bruch{r}{3} \Rightarrow [/mm] r = 2.16
Der Radius des Innenkreises beträgt etwa 2.16 cm.
LÖSUNGSANSATZ ZUM OBIGEN PROBLEM:
Der Mittelpunkt der Grundseite des Dreiecks ist der Ursprung des Koordinatensystems. Dann ist der rechte Schenkel des Dreiecks die Funktion y=-3x+9
Der Mittelpunkt des Innenkreises hat die Koordinaten (0/r).
Und dann kommt man auf ein ziemlich verworrenes Gleichungssystem mit vier - teilweise quadratischen (wegen Pythagoras) - Gleichungen. Das Auflösen wurde dann zu kompliziert und ich hab's aufgegeben.
Ist das denn wirklich dermaßen kompliziert, wenn man die obige Aufgabe ohne Winkelhalbierende / Tangens lösen will? Denn wenn man den Winkel Alpha gar nicht kennt, wie soll man es dann anders machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 27.04.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Grundseite von 6 cm
> und eine Höhe von 9 cm.
> Welchen Radius hat der Innenkreis dieses Dreiecks?
>
> LÖSUNG:
> Der Mittelpunkt des gesuchten Innenkreis ist der
> Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
> Weil man mit dem Taschenrechner den Winkel zu einem
> Tangens, die Hälfte dieses Winkels und davon wiederum den
> Tangens leicht ermitteln kann, kriegt man das Ergebnis
> schnell raus (siehe unten).
>
> PROBLEM:
> Was ist aber, wenn man diese oben gegebenen
> zahlenmäßigen Werte gar nicht hat, weil man sie z.B.
> aufgrund einer Extremwertaufgabe sucht? Wie soll das dann
> gehen (mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken und dem Satz
> des Pythagoras?)?
> [mm]\bruch{9}{3}[/mm] = tan [mm]\alpha \Rightarrow \alpha[/mm] = 71.56°
>
> [mm]\bruch{\alpha}{2}[/mm] = 35.78°
>
> tan 35.78° = [mm]\bruch{r}{3} \Rightarrow[/mm] r = 2.16
>
> Der Radius des Innenkreises beträgt etwa 2.16 cm.
>
>
> LÖSUNGSANSATZ ZUM OBIGEN PROBLEM:
> Der Mittelpunkt der Grundseite des Dreiecks ist der
> Ursprung des Koordinatensystems. Dann ist der rechte
> Schenkel des Dreiecks die Funktion y=-3x+9
>
> Der Mittelpunkt des Innenkreises hat die Koordinaten
> (0/r).
>
> Und dann kommt man auf ein ziemlich verworrenes
> Gleichungssystem mit vier - teilweise quadratischen (wegen
> Pythagoras) - Gleichungen. Das Auflösen wurde dann zu
> kompliziert und ich hab's aufgegeben.
>
> Ist das denn wirklich dermaßen kompliziert, wenn man die
> obige Aufgabe ohne Winkelhalbierende / Tangens lösen will?
> Denn wenn man den Winkel Alpha gar nicht kennt, wie soll
> man es dann anders machen?
Guck mal bei Wiki unter Inkreis, da gibt es eine Formel für r (= [mm] \bruch{2A}{a+b+c}), [/mm] die hier von Nutzen ist. Ohne TR geht es allerdings trotzdem nicht gut.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Mi 27.04.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Die Formel r = [mm]\bruch{2A}{a+b+c}[/mm] müsste man jetzt noch entsprechend umwandeln, da von dem gleichschenkligen Dreieck ja nur die Grundseite b und die Höhe h bekannt sind.
Dann käme da raus:
r = [mm] \bruch{b*h}{b+2*\wurzel{(\bruch{b}{2})^{2}+h^{2}}}
[/mm]
Ob diese Formel einem bei weiterführenden Aufgaben dann allerdings behilflich ist sein wird, kann ich jetzt auch nicht überblicken.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Grundseite von 6 cm
> und eine Höhe von 9 cm.
> Welchen Radius hat der Innenkreis dieses Dreiecks?
>
> LÖSUNG:
> Der Mittelpunkt des gesuchten Innenkreis ist der
> Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Dein Lösungsansatz ist gut und lässt sich mit Vektoren relativ leicht bewältigen:
1. Die Richtung einer Winkelhalbierenden wird durch die Summe der Einheitsvektoren der Richtungsvektoren der Schenkel bestimmt. (Diesen Satz bitte zweimal lesen).
2. Wenn ich Dein Koordinatensystem übernehme, dann haben die Schenkel des Winkels bei A(-3 / 0) die Richtungen:
[mm] $\overrightarrow{s_1}=\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{s_2}=\vektor{1\\3}$
[/mm]
Die Winkelhalbierende durch A hat dann die Richtung [mm] $\overrightarrow{w_1}=\vektor{1\\0}+\frac1{\sqrt{10}} \vektor{1\\3}$
[/mm]
Die Gleichung der Winkelhalbierenden durch A ist jetzt leicht aufzustellen.
3. Die Gleichung der Winkelhalbierenden durch C(0 / 9) aufstellen und beide Geraden schneiden.
Gruß
Pappus
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