Innenwinkelsatz: Beweis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Do 27.12.2012 | | Autor: | anna2013 |
| Aufgabe | Seien paarweise verschiedene Punkte p,q, r [mm] \in [/mm] Rn gegeben.
Seien [mm] \alpha [/mm] = winkel (r, p, q), [mm] \beta [/mm] = winkel (p, q, r) und
[mm] \gamma [/mm] = (q, r, p).
Dann gilt
[mm] \alpha +\beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = [mm] \pi [/mm]
Hinweis: Verwenden Sie: cos( [mm] \alpha +\beta [/mm] ) = [mm] cos(\alpha [/mm] ) [mm] cos(\beta [/mm] ) - [mm] sin(\alpha [/mm] ) [mm] sin(\beta [/mm] ) |
hallo meine lieben
diese aufgabe , also innenwinkelsatzt ist meine hausaufgabe, die ich über weihnachten (Vorlesung: euklidische geometrie) lösen sollte.
leider weis ich nicht wie ich das mit dem aditionstheorem lösen soll, nicht mal wie ich anfangen soll :'(
ich hoffe einer von euch hat einpaar tipps oder ideen.
ich danke euch im voraus
lg anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir mal folgende Links an, dort findest du einige Beweisideen:
http://www.poegot.org/www_seite/Schule/Winkelsumme_im_Dreieck.pdf
http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf/V011.pdf
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Fr 28.12.2012 | | Autor: | anna2013 |
hi m.rex
erstmal vielen dank für deine hilfe und mühe, dich in den fehrien mit aufgaben anderer leute zu bescheftigen  echt bewundernswert
diese seiten und viele andere habe ich schon vor tagen gefunden und durchgelesen, leider hilft mir das nicht weiter, weil
deis keine aufgabe auf schulniveau ist.
ich weis das ich ein dreieck betrachten sollte, dann gebe ich den ecken namen, und überlege dann, wie man die seiten als Vektoren ausdrücken kann... Das darf ich nach definition im skript... habe ich auch getan, dann soll ich die definition vom cosinus und die polarisationsformel anwenden, weis aber nicht wie und warum?
tipp unserer tutorin: die definition vom sinus braucht ihr an keiner stelle. der tipp, der druntersteht also (additionstheorem, siehe aufgabenstellung), ist aber trotzdem sinnvoll, da er (zusammen mit dem wissen, dass cos² + sin²=1 ist) die lösung sehr schnell liefert.
|
|
|
| |
|
halo, wass is mit daine otegraffieh lohs?
und wisoschraips du alles klein? klemt dei schiffttaste?
Meinst du nicht, dass du wenigstens deine Frage in einer angemessenen Form präsentieren kannst?
Das ist doch kein chatroom hier ...
Mensch Meier!
Das tut ja weh, wenn man das liest ...
Editiere mal das Kauderwelsch!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Fr 28.12.2012 | | Autor: | anna2013 |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 28.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hi m.rex
>
> erstmal vielen dank für deine hilfe und mühe, dich in den
> fehrien mit aufgaben anderer leute zu bescheftigen echt
> bewundernswert
>
> diese seiten und viele andere habe ich schon vor tagen
> gefunden und durchgelesen, leider hilft mir das nicht
> weiter, weil
> deis keine aufgabe auf schulniveau ist.
Was darfst du denn verwenden? In welchem Zusammenhang habt ihr diese Aufgabe den gestellt bekommen.
>
> ich weis das ich ein dreieck betrachten sollte, dann gebe
> ich den ecken namen, und überlege dann, wie man die seiten
> als Vektoren ausdrücken kann... Das darf ich nach
> definition im skript... habe ich auch getan, dann soll ich
> die definition vom cosinus und die polarisationsformel
> anwenden, weis aber nicht wie und warum?
Evtl hilft der Kosinussatz weiter, damit bekommst du folgendes Gleichungssystem
[mm] $\begin{vmatrix}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha)\\b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta)\\c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma)\end{vmatrix}$
[/mm]
Wenn du dieses Gleichungssystem löst, könnten die Tipps helfen.
>
> tipp unserer tutorin: die definition vom sinus braucht ihr
> an keiner stelle. der tipp, der druntersteht also
> (additionstheorem, siehe aufgabenstellung), ist aber
> trotzdem sinnvoll, da er (zusammen mit dem wissen, dass
> cos² + sin²=1 ist) die lösung sehr schnell liefert.
>
Marius
|
|
|
| |
|
Es ist schwierig, dir zu helfen, da du die Voraussetzungen nicht ganz geklärt hast. Offenbar geht es hier nicht um Elementargeometrie. Ich vermute einmal, daß ein euklidischer Vektorraum mit Standardskalarprodukt vorliegt und daß Winkel über die Cosinus-Formel eingeführt wurden.
Ich verwende die Bezeichnungen der Figur. Für das Skalarprodukt der Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] schreibe ich [mm]\sigma = \vec{a} \cdot \vec{b}[/mm].
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst gilt [mm]\vec{c}^{\, 2} = \left( \vec{a} - \vec{b} \right)^2 = \vec{a}^{\, 2} + \vec{b}^{\, 2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}[/mm], also
(1) [mm]c^2 = a^2 + b^2 - 2 \sigma[/mm]
Die Cosinus-Formel für den Winkel [mm]\alpha[/mm] lautet: [mm]\cos \alpha = \frac{\left( - \vec{b} \right) \cdot \vec{c}}{bc} = \frac{\vec{b}^{\, 2} - \vec{a} \cdot \vec{b}}{bc}[/mm], also
(2) [mm]\cos \alpha = \frac{b^2 - \sigma}{bc}[/mm]
Und für den Winkel [mm]\beta[/mm] findet man durch [mm]\cos \beta = \frac{\left( - \vec{a} \right) \cdot \left( - \vec{c} \right)}{ac}[/mm] analog
(3) [mm]\cos \beta = \frac{a^2 - \sigma}{ac}[/mm]
Und schließlich noch [mm]\cos \gamma = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ab}[/mm], also
(4) [mm]\cos \gamma = \frac{\sigma}{ab}[/mm]
Dabei wird [mm]\alpha,\beta,\gamma \in (0,\pi)[/mm] vorausgesetzt.
Nach diesen Vorbereitungen geht es los. Mit dem Additionstheorem des Cosinus folgt:
[mm]\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sqrt{\left( 1 - \cos^2 \alpha \right) \left( 1 - \cos^2 \beta \right)}[/mm]
Das Vorzeichen der Wurzel stimmt, denn die Sinuswerte sind für Winkel [mm]\in (0,\pi)[/mm] positiv. Nun setzt man die Ausdrücke aus (2) und (3) ein. Man erhält:
[mm]\cos ( \alpha + \beta ) = \frac{\left( a^2 - \sigma \right) \left( b^2 - \sigma \right)}{abc^2} - \sqrt{\left( 1 - \frac{\left( a^2 - \sigma \right)^2}{a^2 c^2} \right) \left( 1 - \frac{\left( b^2 - \sigma \right)^2}{b^2 c^2} \right)}[/mm]
[mm]= \frac{\left( a^2 - \sigma \right) \left( b^2 - \sigma \right)}{abc^2} - \frac{\sqrt{\left( a^2 c^2 - \left( a^2 - \sigma \right)^2 \right) \left( b^2 c^2 - \left( b^2 - \sigma \right)^2 \right)}}{abc^2}[/mm]
Unter der Wurzel wird [mm]c^2[/mm] gemäß (1) ersetzt. Man erhält:
[mm]\cos ( \alpha + \beta ) = \frac{\left( a^2 - \sigma \right) \left( b^2 - \sigma \right) - \sqrt{\left( a^2 b ^2 - \sigma^2 \right)^2}}{abc^2} = \frac{\left( a^2 - \sigma \right) \left( b^2 - \sigma \right) - \left( a^2 b ^2 - \sigma^2 \right)}{abc^2} = \frac{\sigma \cdot \left( 2 \sigma - a^2 - b^2 \right)}{abc^2} = - \frac{\sigma}{ab}[/mm]
Ein Vergleich mit (4) zeigt:
[mm]\cos ( \alpha + \beta ) = - \cos \gamma[/mm]
Mit der Verschiebungsformel für den Cosinus heißt das
[mm]\cos ( \alpha + \beta ) = \cos ( \pi - \gamma )[/mm]
Wegen der Mehrdeutigkeit des Cosinus sind zwei Fälle denkbar: Entweder ist [mm]\alpha + \beta = \pi - \gamma[/mm] oder es ist [mm]\alpha + \beta + \pi - \gamma = 2 \pi[/mm]. Man muß daher noch eine Begründung finden, warum der zweite Fall nicht eintreten kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 31.12.2012 | | Autor: | anna2013 |
vielen dank leopold.
du hast mit allem recht.
in der zwischenzeit habe ich mich mit meiner aufgabe intensiver beschäftigt und dein beitrag hat mir gezeigt, dass ich auf dem richtigem weg bin.
ich wünsche dir einen guten rutsch in das neue 2013 
liebe grüße
anna
l
|
|
|
|
