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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Di 02.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Soweit ich das verstanden habe betrachtet man als Norm eines Vektors die Länge. Norm ist einfach ein anderer Ausdruck für Betrag, der aber nur in [mm] \IR [/mm] gilt. Was ist aber in [mm] \IR²? [/mm] gilt hier die Norm oder der Betrag?
Dann hätte ich noch eine Frage bezüglich der Vorstellung.
es gilt ||P + Q ||² - ||P - Q ||² = 4P.Q wobei P und Q beliebige Vektoren in
R³ sind. Was ich mich jetzt frage wie kann ich mir die Länge zum Quadrat vorstellen? Und überhaupt was heißt geometrisch 4P.Q?
Ach ja und noch so eine blöde Frage: Wie kann man die De Morganschen Gesetze nur mit Hilfe der anderen Gestze (Kommutativgesetze, Assiotzativgesetze,.......) (ohne Wahrheitstafeln) beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Di 02.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Erst einmal sollte man nicht erwarten, dass man immer direkt eine geometrische Vorstellung bekommt. Dennoch kann man die Frage zum Teil beantworten.
Du hast Recht mit dem Beitrag [mm] $\vert \cdot \vert$ [/mm] misst man in [mm] $\IR$ [/mm] Abstände. Nun versucht man die wichtigsten Eigenschaften des Betrages zu extrahieren und diese als Voraussetzung für ein Abstandsmaß auch in anderen, möglicherweise höherdimensionalen Räumen zu fordern.
Das, was der Betrag leistet, und was ein ähnliches "Längen-Maß" auch in anderen Vektorräumen leisten sollte, ist Folgendes:
1) Die $0$ sollte immer die Länge $0$ haben, und kein anderer Vektor sollte die Länge $0$ haben. Die Länge sollte nie kleiner als $0$ sein.
2) Wenn ich einen Vektor mit $c$ strecke (oder stauche), dann sollte die Länge des gestreckten (gestauchten) Vektors gerade das $c$-Fache der ursprünglichen Länge sein.
3) Wenn man sich ein Dreieck aus drei Punkten vorstellt, dann sollte die Länge des direkten Weges zwischen zwei Eckpunkten kleiner sein als der Umweg über den dritten Eckpunkt.
Abstrahiert man das etwas, so kommt man zum Begriff der Norm eines Vektorraums:
![[]](/images/popup.gif) http://www.ct-webspace.de/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode107.html
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt es nun, wie in jedem Vektorraum, "sehr viele" Normen.
Was ihr vermutlich bisher nur im [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachtet habt, ist die euklidische Norm, die vom natürlichen (euklidischen) Skalarprodukt kommt:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_2 [/mm] = [mm] \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$.
[/mm]
Sie entspricht dem, was man nach dem Satz von Pythagoras am ehesten als "natürlichen Abstand" eines Punktes $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] vom Nullpunkt bezeichnen würde. Dennoch gibt es auch viele andere Normen im [mm] $\IR^2$, [/mm] die den obigen drei Bedingungen genügen.
Wie kann man sich das Skalarprodukt anschaulich vorstellen?
Es ist (wenn [mm] $\Vert [/mm] y [mm] \Vert=1$ [/mm] gilt)
$x [mm] \* [/mm] y$
einfach die Länge des auf den von $y$ aufgespannten Unterraum orthogonal projezierten Vektors $x$.
Hier wird es ausführlicher erklärt:
http://www.mathematik.net/vektoral/vak8s3.htm
Deine andere Frage gehört nicht in diesen Diskussionsstrang.
Liebe Grüße
Julius
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