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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 20.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | X und Y seien topologische Räume. [mm] $A\subseteq [/mm] X, [mm] B\subseteq [/mm] Y$. Zeigen Sie:
(1) [mm] $(A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}$
[/mm]
(2) [mm] $(\overline{A\times B})=\overline{A}\times\overline{B}$ [/mm] |
Moin, ich habe mal wieder Frageb dazu, wie sollte es auch anders sein... 
Zu (1):
Ich würd sagen
[mm] $(A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}}O$, [/mm] wobei ich mit [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] die Produkttopologie auf [mm] $A\times [/mm] B$ meine.
Nur, wie macht man jetzt weiter?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> X und Y seien topologische Räume. [mm]A\subseteq X, B\subseteq Y[/mm].
> Zeigen Sie:
>
> (1) [mm](A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}[/mm]
>
> (2) [mm](\overline{A\times B})=\overline{A}\times\overline{B}[/mm]
>
> Moin, ich habe mal wieder Frageb dazu, wie sollte es auch
> anders sein...
>
> Zu (1):
>
> Ich würd sagen
>
> [mm](A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supseteq O\in\mathcal{O}}O[/mm],
> wobei ich mit [mm]\mathcal{O}[/mm] die Produkttopologie auf [mm]A\times B[/mm]
> meine.
>
>
> Nur, wie macht man jetzt weiter?!
Wie sehen denn die offenen Mengen von $X [mm] \times [/mm] Y$ aus ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Di 20.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Die offenen Mengen O von [mm] $X\times [/mm] Y$, also die Elemente der Produkttopologie, kann man schreiben als
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k=1}^{2}p_k^{-1}(O_k)$, [/mm] wo [mm] $p_1:X\times Y\to [/mm] X, [mm] p_2:X\times Y\to [/mm] Y$ meint und [mm] $O_1$ [/mm] offen in X und [mm] $O_2$ [/mm] offen in Y.
Ich weiß nur irgendwie nicht: Was ist dann die Produkttopologie auf [mm] $A\times [/mm] B$?
[mm] \textbf{Edit:}
[/mm]
Vielleicht
[mm] $\mathcal{O}_{A\times B}=\left\{(A\times B)\cap O~|~O\in\mathcal{O}_{X\times Y}\right\}$
[/mm]
Welche Produkttopologie muss ich jetzt nehmen: Die auf [mm] $A\times [/mm] B$ oder die auf [mm] $X\times [/mm] Y$?
[mm] \textbf{Edit 2:}
[/mm]
Ich würde sagen, man benutzt die Produkttopologie auf [mm] $X\times [/mm] Y$, da man bei dem Inneren (oder auch dem Abschluss) ja immer alle Teilmengen des ganzen topologischen Raums betrachtet.
[mm] \textbf{Edit 3:}
[/mm]
Ich käme dann erstmal auf:
[mm] $(A\times B)^{\circ}=\bigcup_{A\times B\supset O\in\mathcal{O}_{X\times Y}}\left(\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)\right)$, [/mm] K endliche Teilmenge von [mm] $I=\left\{1,2\right\}$.
[/mm]
Okay, das ist ja schonmal was. Noch bringt es mich aber nicht weiter. Ein weiterer Tipp wäre toll. Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 20.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich schließe nochmal eine weitere Frage an, damit ich den alten Beitrag nicht zu oft editiere:
Also ich fasse zusammen, was ich bis jetzt "erarbeitet" habe:
Sei [mm] $C\in (A\times B)^{\circ}$.
[/mm]
Dann ex. ein [mm] $O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)$ [/mm] mit [mm] $C\subseteq [/mm] O$.
Dann ex. [mm] $D:=\bigcap_{k\in K}p_k^{-1}(O_k)$, [/mm] s.d.
[mm] $C\subseteq [/mm] D$, d.h.
[mm] $C\subseteq p_k^{-1}~\forall k\in [/mm] K$, also
[mm] $C\subseteq\left\{x\in X\times Y~|~p_k(x)\in O_k\right\}~\forall k\in [/mm] K$.
Weiter komme ich nicht, bitte helft mir . Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 20.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
hallo, ich misch mich ungern ein, weil fred97 viel kompetenter ist als ich...
aber ich denke er meint das nicht so kompliziert, wie du es machst !!
da das produkt hier endlich ist, bilden die produkte offener menge (also der mengen, die in den einzelräumen offen sind) eine basis der produkttopologie!
stichwort: boxtopologie (die im endlichen fall identisch mit derjenigen topologie ist, die die basis hat, die du die ganze zeit nutzt).
damit kannst du es mal probieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 20.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
sieh meine andere antwort
ich denk das ist zwar alles nicht falsch aber zu umständlich !!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 20.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, dennis2!
Es kann sein, dass ich das viel zu kompliziert gesehen habe. Will ich nicht bestreiten.
Aber zurück zu Deinem Einwand.
Was meinst Du mit: zu kompliziert??
Verstehe ich nicht so ganz.
Kannst Du es nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 20.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
hallo mikexx
alles was du wissen musst steht hier
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Topologisches_Produkt
mit worten: die produkte aller in den einzelräumen offenen mengen bilden eine basis der produkttopologie (im fall daß es endlich viele faktoren gibt, hier sind es ja nur X und Y, also endlich viele)
für die eine richtung [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}$
[/mm]
ist dann klar, daß [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}$ [/mm] in der produkttopologie ist und außerdem ist [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times [/mm] B$.
das heißt also?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 20.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, also [mm] $A^{\circ}$ [/mm] ist offen in $X$ und [mm] $B^{\circ}$ [/mm] ist offen in $Y$, denn es sind ja die größten offen Mengen in X bzw. Y, die in A bzw. B enthalten sind.
Also ist [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}$ [/mm] in der Basis der Produkttopologie, also insbesondere offen in [mm] $X\times [/mm] Y$.
Außerdem ist ja [mm] $A^{\circ}\subseteq [/mm] A, [mm] B^{\circ}\subseteq [/mm] B%, also [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times [/mm] B$.
Also [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}$.
[/mm]
Aber wie geht die andere Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 20.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Okay, also [mm]A^{\circ}[/mm] ist offen in [mm]X[/mm] und [mm]B^{\circ}[/mm] ist offen
> in [mm]Y[/mm], denn es sind ja die größten offen Mengen in X bzw.
> Y, die in A bzw. B enthalten sind.
>
> Also ist [mm]A^{\circ}\times B^{\circ}[/mm] in der Basis der
> Produkttopologie, also insbesondere offen in [mm]X\times Y[/mm].
>
> Außerdem ist ja [mm]$A^{\circ}\subseteq[/mm] A, [mm]B^{\circ}\subseteq[/mm]
> B%, also [mm]$A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times[/mm] B$.
>
>
> Also [mm]A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}[/mm].
>
>
die richtung halte ich für ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie geht die andere Richtung?
nimm eine offene menge aus der produkttopologi auf [mm] $X\times [/mm] Y$ die teilmenge von [mm] $A\times [/mm] B$ ist
also [mm] $O\subseteq A\times [/mm] B$
wie kannst du O darstellen? als
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}S_i\times T_i$, [/mm] wo die [mm] $S_i$ [/mm] offen in X und [mm] $T_i$ [/mm] offen in Y sind
dann hast du
[mm] $O=\bigcup_{i\in I}S_i\times T_i\subseteq A\times [/mm] B$
zeig daß [mm] $S_i\subseteq A^{\circ}, T_i\subseteq B^{\circ}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 21.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Meinst Du das so:
[mm] $S_i\times T_i\subseteq\bigcup_{i\in I}S_i\times V_i\subseteq A\times [/mm] B$
Also [mm] $S_i\times T_i\subseteq A\times B~\forall~i\in [/mm] I$
Also [mm] $S_i\subseteq [/mm] A, [mm] T_i\subseteq B~\forall i\in [/mm] I$
Dann ist also einerseits [mm] $S_i$ [/mm] offene Teilmenge von X und andererseits auch Teilmenge von A, also [mm] $S_i\subseteq A^{\circ}$ [/mm] und ebenso [mm] $T_i\subseteq B^{\circ}$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$, also [mm] $S_i\times T_i\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}$.
[/mm]
Dann ist aber auch die Vereinigung der [mm] $S_i\times T_i$, [/mm] d.h. O, Teilmenge von [mm] $A^{\circ}\times B^{\circ}$, [/mm] also
[mm] $O\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}$.
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 21.03.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Meinst Du das so:
>
> [mm]S_i\times T_i\subseteq\bigcup_{i\in I}S_i\times V_i\subseteq A\times B[/mm]
>
> Also [mm]S_i\times T_i\subseteq A\times B~\forall~i\in I[/mm]
>
> Also [mm]S_i\subseteq A, T_i\subseteq B~\forall i\in I[/mm]
>
> Dann ist also einerseits [mm]S_i[/mm] offene Teilmenge von X und
> andererseits auch Teilmenge von A, also [mm]S_i\subseteq A^{\circ}[/mm]
> und ebenso [mm]T_i\subseteq B^{\circ}[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm], also
> [mm]S_i\times T_i\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}[/mm].
>
> Dann ist aber auch die Vereinigung der [mm]S_i\times T_i[/mm], d.h.
> O, Teilmenge von [mm]A^{\circ}\times B^{\circ}[/mm], also
>
> [mm]O\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}[/mm].
>
>
> ?
ja so meinte ichs
ist meines erachtens so
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