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Hallo,
ich soll zeigen, dass das für eine konvexe Menge M [mm] \subset [/mm] X, X metrischer Raum, gilt, dass auch das Innere int M konvex ist.
Hab mir dazu schon Folgendes überlegt:
Seien [mm] x,y\in [/mm] int M. Dann ist jeweils deren epsilon-Umgebung in M und deren direkte Verbindung. Ich muss also zeigen, dass die Strecke zwischen x und y in int M liegt.
Ich konstruiere dazu ein Dreieck mit den Eckpunkten x,y,z, wobei z in der epsilon-Umgebung von x liegt. Dann liegt auch die direkte Verbindung von y zu z in M. Nun schaue ich mir eine Umgebung um x an mit dem Radius r=||x-z||. Diese r-Umgebung lasse ich nun entlang der Strecke xy entlang laufen, wobei der Radius immer genau der Abstand von xy zur Strecke yz ist. Dadurch ist sicher gestellt, dass meine Umgebung auch tatsächlich in M liegt.
Mein Problem ist nun allerdings, dass ich diesen sich verändernden Abstand nicht ausrechnen kann.
(Außerdem bin ich mir nicht ganz sicher, ob das für alle metrischen Räume gilt. Aber müsste eigentlich, oder?)
Danke!
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> Hallo,
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> ich soll zeigen, dass das für eine konvexe Menge M [mm]\subset[/mm]
> X, X metrischer Raum, gilt, dass auch das Innere int M
> konvex ist.
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> Hab mir dazu schon Folgendes überlegt:
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> Seien [mm]x,y\in[/mm] int M. Dann ist jeweils deren epsilon-Umgebung
> in M und deren direkte Verbindung. Ich muss also zeigen,
> dass die Strecke zwischen x und y in int M liegt.
> Ich konstruiere dazu ein Dreieck mit den Eckpunkten x,y,z,
> wobei z in der epsilon-Umgebung von x liegt. Dann liegt
> auch die direkte Verbindung von y zu z in M. Nun schaue ich
> mir eine Umgebung um x an mit dem Radius r=||x-z||. Diese
> r-Umgebung lasse ich nun entlang der Strecke xy entlang
> laufen, wobei der Radius immer genau der Abstand von xy zur
> Strecke yz ist. Dadurch ist sicher gestellt, dass meine
> Umgebung auch tatsächlich in M liegt.
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> Mein Problem ist nun allerdings, dass ich diesen sich
> verändernden Abstand nicht ausrechnen kann.
> (Außerdem bin ich mir nicht ganz sicher, ob das für alle
> metrischen Räume gilt. Aber müsste eigentlich, oder?)
>
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> Danke!
Hallo Balendilin,
Ich verstehe nicht ganz, weshalb du ein Dreieck benützen
willst, welches sich gegen y hin zuspitzt. Wenn x und y
gegeben sind, so gibt es [mm] \varepsilon_x [/mm] und [mm] \varepsilon_y [/mm] mit der Eigenschaft,
dass ganz [mm] U_{\varepsilon_x}(x) [/mm] und [mm] U_{\varepsilon_y}(y) [/mm] dem Inneren von M angehören,
also auch M. Setze [mm] \varepsilon:=min(\varepsilon_x,\varepsilon_y) [/mm] .
Für jedes Punktepaar [mm] (x_1,y_1) [/mm] mit [mm] x_1\in{U_{\varepsilon}(x)} [/mm] und [mm] y_1\in{U_{\varepsilon}(y)}
[/mm]
gehört dann die gesamte Verbindungsstrecke wegen der
Konvexität von M auch zu M. Alle diese Verbindungs-
strecken decken insgesamt dasselbe Gebiet ab, das
beschrieben wird, wenn man eine (offene) Epsilon-
kugel der Strecke [mm] \overline{xy} [/mm] entlang schiebt. Um mit Sicher-
heit zu vermeiden, dass bei diesem Verschiebungsprozess
der Rand von M getroffen werden könnte, kann man
den Radius halbieren und hat dann für die gesamte
Strecke [mm] \overline{xy} [/mm] eine offene Umgebung, welche ganz zu int(M) gehört.
Ich hoffe, dass ich jetzt nicht zu viel euklidische Metrik
vorausgesetzt habe ...
LG Al-Chw.
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> Ich verstehe nicht ganz, weshalb du ein Dreieck benützen
> willst, welches sich gegen y hin zuspitzt. Wenn x und y
> gegeben sind, so gibt es [mm]\varepsilon_x[/mm] und [mm]\varepsilon_y[/mm]
> mit der Eigenschaft,
> dass ganz [mm]U_{\varepsilon_x}(x)[/mm] und [mm]U_{\varepsilon_y}(y)[/mm] dem
> Inneren von M angehören,
> also auch M. Setze
> [mm]\varepsilon:=min(\varepsilon_x,\varepsilon_y)[/mm] .
> Für jedes Punktepaar [mm](x_1,y_1)[/mm] mit
> [mm]x_1\in{U_{\varepsilon}(x)}[/mm] und [mm]y_1\in{U_{\varepsilon}(y)}[/mm]
> gehört dann die gesamte Verbindungsstrecke wegen der
> Konvexität von M auch zu M. Alle diese Verbindungs-
> strecken decken insgesamt dasselbe Gebiet ab, das
> beschrieben wird, wenn man eine (offene) Epsilon-
> kugel der Strecke [mm]\overline{xy}[/mm] entlang schiebt.
Danke für die Antwort. Und ich finde sie auch anschaulich schön klar. Allerdings würde ich gerne noch formal aufschreiben, warum die ganzen Verbindungsstrecken das selbe Gebiet abdecken, wie wenn man eine epsilon-Umgebung die Strecke entlang schiebt. Kannst du mir auch sagen, wie ich das hinbekomme?
Danke!
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> > Ich verstehe nicht ganz, weshalb du ein Dreieck benützen
> > willst, welches sich gegen y hin zuspitzt. Wenn x und y
> > gegeben sind, so gibt es [mm]\varepsilon_x[/mm] und [mm]\varepsilon_y[/mm]
> > mit der Eigenschaft,
> > dass ganz [mm]U_{\varepsilon_x}(x)[/mm] und [mm]U_{\varepsilon_y}(y)[/mm] dem
> > Inneren von M angehören,
> > also auch M. Setze
> > [mm]\varepsilon:=min(\varepsilon_x,\varepsilon_y)[/mm] .
> > Für jedes Punktepaar [mm](x_1,y_1)[/mm] mit
> > [mm]x_1\in{U_{\varepsilon}(x)}[/mm] und [mm]y_1\in{U_{\varepsilon}(y)}[/mm]
> > gehört dann die gesamte Verbindungsstrecke wegen der
> > Konvexität von M auch zu M. Alle diese Verbindungs-
> > strecken decken insgesamt dasselbe Gebiet ab, das
> > beschrieben wird, wenn man eine (offene) Epsilon-
> > kugel der Strecke [mm]\overline{xy}[/mm] entlang schiebt.
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> Danke für die Antwort. Und ich finde sie auch anschaulich
> schön klar. Allerdings würde ich gerne noch formal
> aufschreiben, warum die ganzen Verbindungsstrecken das
> selbe Gebiet abdecken, wie wenn man eine epsilon-Umgebung
> die Strecke entlang schiebt. Kannst du mir auch sagen, wie
> ich das hinbekomme?
> Danke!
Na gut, das habe ich mir nun halt wirklich ganz konkret
anschaulich klar gemacht. Ich bezweifle, ob die Überlegung
irgendwie klarer wird, wenn man sie in ein formales Korsett
schnürt - es könnte ihr die Luft ausgehen ... 
Beachte aber, dass die Überlegung daran gebunden ist,
dass wir uns in einem euklidischen Raum [mm] \IR^n [/mm] mit der
üblichen Metrik bewegen. Inwiefern sich die Überlegung
auf andere metrische Räume übertragen lässt, ist mir
nicht so klar. Der Begriff einer konvexen Menge mit einem
nicht-leeren Inneren macht aber eben nur in einem Raum
Sinn, wo es auch offene Umgebungen und "kürzeste
Verbindungswege" gibt.
LG Al-Chw.
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> Hallo,
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> ich soll zeigen, dass das für eine konvexe Menge M [mm]\subset[/mm]
> X, X metrischer Raum, gilt, dass auch das Innere int M
> konvex ist.
Hallo Balendilin,
ich habe jetzt doch noch eine wichtige Frage zu
den Voraussetzungen.
Ich vermute nämlich, dass hier nicht einfach eine
beliebige Metrik vorausgesetzt werden sollte, sondern
z.B. ein reeller Vektorraum oder allenfalls noch eine
geodätisch konvexe Mannigfaltigkeit. Deine Lösungsidee
und auch meine beruhen nämlich auf der "gewöhnlichen"
euklidischen Metrik.
In einem beliebigen metrischen Raum macht der Begriff
der "Verbindungsstrecke" zweier Punkte eventuell gar
keinen Sinn.
Gib uns doch bitte noch die Aufgabenstellung im
kompletten Originaltext an !
LG Al-Chw.
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Die exakte Fragestellung ist:
Sei X ein normierter Vektorraum, M sei eine konvexe Teilmenge. z.z. das Innere von M ist auch konvex.
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> Die exakte Fragestellung ist:
>
> Sei X ein normierter Vektorraum, M sei eine konvexe
> Teilmenge. z.z. das Innere von M ist auch konvex.
Aha !
Normierter Vektorraum. Das klingt doch schon viel besser
als einfach irgendein "metrischer Raum" !
In diesem Fall sollten auch die angestellten Überlegungen
wirklich Sinn machen. Eigentlich wäre auch noch gut zu
wissen, ob der dem Vektorraum zugrunde liegende Körper
wirklich geeignet ist für eine entsprechende Topologie
mit offenen Umgebungen.
LG Al-Chw.
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> > Die exakte Fragestellung ist:
> >
> > Sei X ein normierter Vektorraum, M sei eine konvexe
> > Teilmenge. z.z. das Innere von M ist auch konvex.
>
>
> Aha !
>
> Normierter Vektorraum. Das klingt doch schon viel besser
> als einfach irgendein "metrischer Raum" !
> In diesem Fall sollten auch die angestellten
> Überlegungen
> wirklich Sinn machen. Eigentlich wäre auch noch gut zu
> wissen, ob der dem Vektorraum zugrunde liegende Körper
> wirklich geeignet ist für eine entsprechende Topologie
> mit offenen Umgebungen.
>
> LG Al-Chw.
>
wir können annehmen, dass es sich um einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] handelt. Ich verstehe aber nicht, inwiefern es dadurch jetzt klarer/handzahmer wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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