Int. Faktor vs. Var. d. Konst. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Do 24.01.2008 | | Autor: | Blacky |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bzgl. der beiden Lösungsmethoden "Integrierender Faktor" und "Variation der Konstanten". So, wie ich es mir bis jetzt erschließen konnte, lösen beide Methoden DGLs der Form:
[mm] \ y'+p(x)y=g(x)[/mm]
Ich wüsste nun gerne, ob man sagen kann, dass eine der beiden Varianten "mächtiger" ist, als die andere, bzw. universeller einsetzbar. Bis jetzt habe ich immer nur mit der Methode "Integrierender Faktor" gerechnet mit der ich auch kurz und knapp zum Ziel kam. Ich habe nun aber Angst, dass dies irgendwann nicht ausreichen könnte.
Kennt sich da jemand aus? :)
Liebe Grüße, Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Fr 25.01.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich bin mir unsicher wie du bei linearen DGLs den integrierenden Faktor reinbringst. Ich kenne den nur im Zusammenhang mit sog. exakten Differentialgleichungen. Hier benutzt man ihn um eine gegebene DGL, die nicht exakt ist (die die sog. Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt) in eine umzuwandeln die das macht (nur so kann man die lösen). Das ist i.A. aber ziemlich schwierig und oft auch gar nicht zu schaffen.
Die Variation der Konstanten benutzt du ja bei linearen DGLs um eine Lösung der inhomogenen Gleichung zu finden (die Gesamtlösung ist ja Summe aus Lösung(en) der homogenen und Lösung der inhomogenen).
Summasumarum: Ich bin mir unsicher, worauf du mit deiner Frage eigentlich abzielst, da beide Verfahren eigentlich bei unterschiedlichen DGL-Typen angewandt wird. Vielleicht weiß aber jemand anderes Bescheid.
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du mal an nem Beispiel sagen, was du damit meinst für soche DGL einen "integrierenden Faktor" zu verwenden?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Blacky |
Okidoki, hier ein Beispiel:
Die DGL sei in der Form:
[mm] \bruch{dy}{dx}+P(x)*y=G(x)
[/mm]
gegeben
Der integrierende Faktor ist dann:
[mm] a(x)=e^{\integral_{}^{}{P(x) dx}
Daraus ergibt sich die Gesamtlösung zu
y(x)=(\integral_{}^{}{a(x)*G(x) dx+C})/a(x)
Also das (Integral + Konstante)/Faktor. Hatte etwas Schwierigkeiten, dass hier richtig einzugeben.
lg, blacky
}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Verfahren nennt man i.A. nicht integr. Faktor.
was du im Prinzip machst, um auf diese "Formel zu kommen:
erst lösen der homogenen Gleichung:
y'=-p(x)*y daraus
dy/y=-p(x)dx das integriert auf beiden Seiten:
lny=-P(x)+C dabei ist P(x) Stammfkt von p(x) (keine Lust Integrale zu schreiben.)
daraus [mm] y=e^{-P(x)+C}=A*e^{-P(x)} [/mm] mie [mm] A=e^C
[/mm]
jetzt Variation der konst. d.h. A=A(x)
[mm] y=A(x)e^{-P(x)} y'=A'*e^{-P(x)}-A*P'(x)*e^{-P(x)} [/mm] mit P'=p
einsetzen in die Dgl.
[mm] A'*e^{-P(x)}-A*p(x)*e^{-P(x)} =-p(x)*A*e^{-P(x)}+G(x) [/mm] daraus:
[mm] A'*e^{-P(x)}=G(x) [/mm] oder [mm] A'(x)=G(x)*e^{P(x)} [/mm] jetzt noch integrieren und du hast deine Formel!
d.h. eigentlich hast du nur genau Variation der Konstanten gemacht, und as allgemein und dir die Endformel gemerkt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 27.01.2008 | | Autor: | Blacky |
Ok, dann ist wohl die Variation der Konstanten das grundlegende Verfahren. Vielen Dank.
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