Int.reihenfolge tauschen? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 24.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Hallo, wenn ich Zufallsvariablen [mm] $X_1,\hdots,X_n$ [/mm] habe, die unabhängig identisch verteilt sind mit Verteilungsfunktion F und Dichtefunktion f und diese eine gemeinsame Dichte [mm] $f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$ [/mm] haben und dann soll ich die Dichte für eine der Zufallsvariablen berechnen, also [mm] $f_{X_i}(x_i)$, [/mm] so rechnet man ja:
[mm] $f_{X_i}(x_i)=\int_{-\infty}^{\infty}\hdots\int_{-\infty}^{\infty}f(x_1)f(x_2)\hdots f(x_{i-1})f(_{x+i})\hdots f(x_n)\, dx_1dx_2\hdots dx_{i-1}dx_{i+1}\hdots dx_n$
[/mm]
Meine Frage ist: Kann man hier die Integrationsreihenfolge beliebig vertauschen, also zum Beispiel auch in dieser Reihenfolge integrieren:
[mm] $dx_1\hdots dx_{i-1}dx_n\hdots dx_{i+1}$ [/mm]
oder in dieser Reihenfolge:
[mm] $dx_n\hdots dx_{i+1}dx_1\hdots dx_{i-1}$
[/mm]
?
Und wenn ja, was ist die Begründung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Di 24.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
google mal "Satz von Fubini" und Riemann-Integral.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 24.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Wenn ich mir diesen Artikel ansehe:
[mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini#Satz_von_Fubini_f.C3.BCr_das_Riemann-Integral
[/mm]
so muss also, damit ich die Integrationsreihenfolge vertauschen darf, f stetig sein und die Integrationsbereiche müssen kompakte Intervalle sein.
Woher weiß ich, daß es sich um das Riemannintegral handelt und daß diese Dinge erfüllt sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich mir diesen Artikel ansehe:
>
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini#Satz_von_Fubini_f.C3.BCr_das_Riemann-Integral[/mm]
>
> so muss also, damit ich die Integrationsreihenfolge
> vertauschen darf, f stetig sein und die
> Integrationsbereiche müssen kompakte Intervalle sein.
>
> Woher weiß ich, daß es sich um das Riemannintegral
> handelt und daß diese Dinge erfüllt sind?
Google lieber mal nach "Satz von Fubini"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 24.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Das habe ich ja getan. 
Dort steht einmal etwas über den Satz von Fubini beim Riemann-Integral und beim Lebesgue-Integral.
Was muss ich nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich ja getan.
>
> Dort steht einmal etwas über den Satz von Fubini beim
> Riemann-Integral und beim Lebesgue-Integral.
>
> Was muss ich nehmen?
1. wenn Du die Lebesqu_version nimmst, hast Du auch die Riemann-Version
2. Es gibt noch andere Quellen als Wiki. Z.B.:
http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/ss09/an2_26.pdf
FRED
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:44 Di 24.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Den Link von Dir verstehe ich so, daß ich jetzt "nur" zeigen muss, daß [mm] $f_{X_1,...,X_n}$ [/mm] integrierbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Di 24.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Keine Reaktion mehr?
Ich würde sagen Dichten sind immer integrierbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 26.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 24.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi anstatt diesen integrationsmarathon zu machen, kannst du dir auch mit hilfe einer binomialverteilung überlegen, dass
[mm] $F_{X_{(i)}}(x_i)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}F(x_i)^k(1-F(x))^{n-k}$
[/mm]
dann kannst du diese verteilungsfkt. partiell ableiten nach [mm] $x_i$
[/mm]
ist zwar auch ein bisschen rechnerei und aufwand, aber ich finde schöner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Di 24.04.2012 | | Autor: | luis52 |
> hi anstatt diesen integrationsmarathon zu machen, kannst du
> dir auch mit hilfe einer binomialverteilung überlegen,
> dass
>
> [mm]F_{X_{(i)}}(x_i)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}F(x_i)^k(1-F(x))^{n-k}[/mm]
>
> dann kannst du diese verteilungsfkt. partiell ableiten nach
> [mm]x_i[/mm]
>
> ist zwar auch ein bisschen rechnerei und aufwand, aber ich
> finde schöner
>
>
Hi dennis2,
mikexx fragt nach der $i_$-ten Randverteilung des Vektors [mm] (X_1,\dots,X_n). [/mm] Was hat die $i_$-te Ordnungsstatistik des Vektors [mm] $(X_{(1)},\dots,X_{(n)})$ [/mm] damit zu tun?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Di 24.04.2012 | | Autor: | dennis2 |
oh, da habe ich was durcheinader gebracht, weil ich selbst grad mit randverteilung von ordnungsstatistik zu tun hatte. sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 24.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin mikexx,
in meinen Lieblings-Statistikbuch finde ich folgende Herleitung fuer zwei nicht notwendigerweise unabhaengige Zufallsvariablen:
[mm] $f_1(x)=\frac{d F_1(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\left[\int_{-\infty}^x\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)\,dy\right)\,du\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy$.
[/mm]
Ich hoffe, das hilft.
vg Luis
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