Integrabilitätsbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Mo 16.01.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Aufgabe zu Kurvenintegralen:
$f(x,y) := [mm] y^2, [/mm] g(x,y) := [mm] x^2 [/mm] $
$z(t) = (asin(t),b*cos(t)),$ [mm] $0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] $
Man zeige: [mm] $\int_{\gamma} \omega [/mm] = 0 $ mit [mm] $\gamma: [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] z(t) = (cos(t),sin(t) ) $ mit $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi$ [/mm] |
Ich glaube, das [mm] $\omega [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
f(x,y) \\
g(x,y)
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
\omega_1 \\
\omega_2
\end{pmatrix}$
[/mm]
Die Integrabilitätsbedingungen lauten: [mm] $\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} [/mm] = [mm] \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}$
[/mm]
Die Frage lautet nun: Was ist in dem Fall das [mm] $x_1$ [/mm] und das [mm] $x_2$ [/mm] ?
Es ist unklar, wie [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] mit $x$ und $y$ zusammenhängen. Kennt sich da jemand aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe zu Kurvenintegralen:
> [mm]f(x,y) := y^2, g(x,y) := x^2[/mm]
> [mm]z(t) = (asin(t),b*cos(t)),[/mm]
> [mm]0\le t \le 2\pi[/mm]
> Man zeige: [mm]\int_{\gamma} \omega = 0[/mm] mit [mm]\gamma: t \mapsto z(t) = (cos(t),sin(t) )[/mm]
> mit [mm]0 \le t \le 2\pi[/mm]
> Ich glaube, das [mm]$\omega[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
f(x,y) \\
g(x,y)
\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
\omega_1 \\
\omega_2
\end{pmatrix}$[/mm]
>
> Die Integrabilitätsbedingungen lauten: [mm]\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}[/mm]
>
> Die Frage lautet nun: Was ist in dem Fall das [mm]x_1[/mm] und das
> [mm]x_2[/mm] ?
>
> Es ist unklar, wie [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] mit [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] zusammenhängen.
> Kennt sich da jemand aus?
[mm] x_1=x, ~x_2=y
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 16.01.2012 | | Autor: | clemenum |
Ich habe vergessen in der letzten Angabe einen wesentlichen Teilauftrag anzugeben: "Anleitung: Überprüfe die Integrabilitätsbedingungen"
Wenn ich in die Integrabilitätsbedingungen einsetze, dann resultiert daraus $ [mm] \frac{\partial }{\partial y}y^2 [/mm] = [mm] \frac{\partial }{\partial x}x^2$ [/mm] und dies ist offensichtlich unrichtig. Wo liegt der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Lonpos |
Bist du sicher das die Beispiele zusammenhängen?
Allgemein gilt jedoch das die Integrabilitätsbedingung nicht hinreichend sondern lediglich notwendig sind. Es existieren also Funktion die beispielsweise die Bedingung erfüllen, dass Integral aber nicht 0 sein muss.
Offenbar gilt dies auch umgekehrt.
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