Integral- und Grenzwertber. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 15.06.2011 | | Autor: | kaschina |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale bzw Grenzwerte:
[mm]
\integral_{D}{1 d(x, y, z)} D = (x,y,z)\in\IR^3: (\bruch{x}{a})^2 + (\bruch{y}{b})^2+ (\bruch{z}{c})^2 \le 1}, (a,b,c >0)[/mm] |
Mein Ansatz wäre über Kugelkoordinaten, wobei ich nicht ganz auf die Grenzbereiche komme.
[mm]
x = r*sin\gamma *cos\varphi;\qquad
y = r *sin \gamma * sin \varphi;\qquad
z = r* cos\gamma; \qquad
[/mm]
mit
[mm]
0 < r \le 1; \qquad 0\le \varphi \le2\Pi; \qquad -\bruch{\Pi}{2} \le \gamma \le \bruch{\Pi}{2}
Kann aber nicht sein, weil dann bereits nach dem zweiten Integrieren nur noch die 0 steht...
Bin mal wieder sehr über Hilfe dankbar...
[/mm]
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Hallo kaschina,
> Berechnen Sie die folgenden Integrale bzw Grenzwerte:
>
> [mm]
\integral_{D}{1 d(x, y, z)} D = (x,y,z)\in\IR^3: (\bruch{x}{a})^2 + (\bruch{y}{b})^2+ (\bruch{z}{c})^2 \le 1}, (a,b,c >0)[/mm]
>
> Mein Ansatz wäre über Kugelkoordinaten, wobei ich nicht
> ganz auf die Grenzbereiche komme.
> [mm]
x = r*sin\gamma *cos\varphi;\qquad
y = r *sin \gamma * sin \varphi;\qquad
z = r* cos\gamma; \qquad
[/mm]
>
> mit
> [mm]
0 < r \le 1; \qquad 0\le \varphi \le2\Pi; \qquad -\bruch{\Pi}{2} \le \gamma \le \bruch{\Pi}{2}
[/mm]
Hier ist
[mm]
x = \blue{a}*sin\gamma *cos\varphi;\qquad
y = \blue{b} *sin \gamma * sin \varphi;\qquad
z = \blue{c}* cos\gamma; \qquad
[/mm]
die richtiige Wahl der Transformation.
>Kann aber nicht sein, weil dann bereits nach dem zweiten Integrieren nur noch die 0 steht...
>Bin mal wieder sehr über Hilfe dankbar...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:54 Do 16.06.2011 | | Autor: | kaschina |
Dankeschön!
Die Grenzbereiche stimmen so?
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Hallo kaschina,
> Dankeschön!
>
> Die Grenzbereiche stimmen so?
Ja.
Dann muss die Transformation so lauten:
[mm]x = \blue{r}*a\cdot{}sin\gamma \cdot{}cos\varphi;\qquad
y = \blue{r}*b \cdot{}sin \gamma \cdot{} sin \varphi;\qquad
z = \blue{r}*c\cdot{} cos\gamma; \qquad [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Do 16.06.2011 | | Autor: | kaschina |
So wirklich klar ist mir das wohl nicht...
Da nur die 1 im Integral steht, ist ja egal, zu was x, y und z transformiert werden...
[mm]
\integral_{\bruch{-\Pi}{2}}^{\bruch{\Pi}{2}} \integral_{0}^{2\Pi} \integral_{0}^{1} {1 * r^2 cos \gamma}\quad dr d\varphi d\gamma
\Rightarrow \bruch{4\Pi}{3}
[/mm]
?
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Hallo kaschina,
> So wirklich klar ist mir das wohl nicht...
Mit der Transformation
[mm]x = a\cdot{}sin\gamma \cdot{}cos\varphi;\qquad
y = b \cdot{}sin \gamma \cdot{} sin \varphi;\qquad
z = c\cdot{} cos\gamma; \qquad [/mm]
ist nur der Rand des Ellipsoids erfaßt worden.
Um auch das Innerer des Ellipsoids zu erfassen,
ist eine zusätzliche Variable r erforderlich, die von
0 bis 1 läuft:
[mm]x = a*\blue{r}\cdot{}sin\gamma \cdot{}cos\varphi;\qquad
y = b*\blue{r} \cdot{}sin \gamma \cdot{} sin \varphi;\qquad
z = c*\blue{r}\cdot{} cos\gamma; \qquad [/mm]
> Da nur die 1 im Integral steht, ist ja egal, zu was x, y
> und z transformiert werden...
> [mm]
\integral_{\bruch{-\Pi}{2}}^{\bruch{\Pi}{2}} \integral_{0}^{2\Pi} \integral_{0}^{1} {1 * r^2 cos \gamma}\quad dr d\varphi d\gamma
\Rightarrow \bruch{4\Pi}{3}
[/mm]
Die Funktionaldeterminante der Transformation ist
[mm]a*b*c*r^{2}*\sin\left(\gamma\right)[/mm]
Daher muss der Wert des Volumenintegrals hier lauten: [mm]\bruch{4\pi}{3}*\blue{a*b*c}[/mm]
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> ?
Gruss
MathePower
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