Integral. Gebrochenrat. Bruch < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Do 03.08.2006 | | Autor: | nkaaa |
Hallo,
ich bin gerade dabei Aufgaben zur Integralrechnung zu wiederholen.
Dabei bin ich auf folgendes gestoßen:
[mm] \bruch{3x + 1}{3x + 6} [/mm] Wie bilde ich hiervon die Stammfunktion?
[mm] \gdw [/mm] (3x + 1) [mm] \* [/mm] (3x + 6) ^(-1)
Wäre für Hilfe dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Do 03.08.2006 | | Autor: | nkaaa |
partitielle Integration
DANKE.
Wieviel man vergessen kann 
Jetzt aber nochmal zur Sicherheit:
Die Stammfunktion von (3x + 6)^-1 ist ln( 3x+6 ) oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Do 03.08.2006 | | Autor: | Disap |
> partitielle Integration
> DANKE.
> Wieviel man vergessen kann
>
> Jetzt aber nochmal zur Sicherheit:
>
> Die Stammfunktion von (3x + 6)^-1 ist ln( 3x+6 ) oder?
Richtig, das ist eine Stammfunktion von [mm] $(3x+6)^{-1}$.
[/mm]
Nein. Stimmt nicht.
Du musst ja quasi die Kettenregel rückwärts anwenden. D. h. wenn du den Term mal ableitest:
[mm] $(\red{3x+6})^{-1}$
[/mm]
hast du hier ja die innere Ableitung. Die musst du beim Integrieren auch berücksichtigen. Aber hier hilft ein kleiner Trick, du klammerst einfach aus:
[mm] $\br{1}{3(x+2)^{1}} [/mm] = [mm] \br{1}{3}(x+2)^{-1}$
[/mm]
Und davon lautet die Stammfunktion nun einfach [mm] \br{1}{3}ln(x+2)
[/mm]
Sorry, bin selbst gerade darauf hereingefallen.
Viele Grüße
Disap
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Hallo nkaaa!
Man kann hier auch alternativ zur partiellen Integration vorgehen, indem man den Bruch zunächst umformt:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{3x + 1}{3x + 6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x + 1 \ \blue{+5-5}}{3x + 6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x + 6-5}{3x + 6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x + 6}{3x + 6}-\bruch{5}{3x + 6} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{5}{3}*\bruch{3}{3x+6}$
[/mm]
Der Term $1_$ sollte für die Stammfunktion kein Problem darstellen, oder? Und bei dem Bruch haben wir nun im Zähler exakt die Ableitung des Nenners, sodass hier folgende Regel greift:
[mm] $\integral{\bruch{g'(x)}{g(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left|g(x)\right|+ [/mm] C$
Gruß vom
Roadrunner
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