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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:22 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Ande |
| Aufgabe | | Loese [mm] \integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{1+sin^2(2t)},dt} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich muss dringend dieses Integral loesen und habe keine Ahnung wie! Ich habe alles moegliche versucht, habe 3 Substitutionen gemacht (zuerst 2t=z, dann sinz=x und dann [mm] 1+x^2), [/mm] aber dann bleibt immer noch [mm] \bruch{1}{cosz} [/mm] obwohl ich ja dann nach dx integrieren muss. Ich waere unheimlich dankbar fuer eine SCHNELLE ANTWORT.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Ande!
Ähnliches Problem hatte ich auch mal zu lösen.
Allerdings hieß mein Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+x^2},dx} [/mm] .
Bei mir half die Substitution von x=sinh(z) (sinus hyperbolicus).
Danach ergab sich dann
[mm] \bruch{dx}{dz}=cosh(z)
[/mm]
und:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+x^2},dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+sinh^{2}(z)}*cosh(z),dz}
[/mm]
Das sieht an sich ähnlich aus, hat aber einen Vorteil, da gilt:
[mm] 1+sinh^{2}(z)=cosh^{2}(z)
[/mm]
Man erhält dann:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{1+sinh^{2}(z)}*cosh(z),dz}= \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{cosh^2(z)}*cosh(z),dz}= \integral_{0}^{2\pi}{cosh^{2}(z),dz}
[/mm]
Es gilt das Additionstheorem:
[mm] cosh^{2}(z)=\bruch{1}{2}(1+cosh(2z))
[/mm]
Damit sieht das ganze dann so aus:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{cosh^{2}(z),dz}=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}(1+cosh(2z),dz}
[/mm]
An dieser Stelle ist es nun recht einfach, wenn man die Integrationsregeln für den 'Cosinus Hyperbolicus' beachtet.
Vielleicht hilft dir dieser Ansatz ja weiter.
Gruß,
Tommy
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:21 Di 29.08.2006 | | Autor: | Ande |
Hallo Tommy
Vielen Dank für Deinen Tip mit dem Hyperbolicus. Ich hab das Integral zwar noch nicht ganz gelöst, aber bin einen ganzen Schritt weitergekommen. Ich habe jetzt 1/2 [mm] \integral_{0}^{4\pi}{cosh(y)*dy*\bruch{1}{cos(x)}}.
[/mm]
Ich weiss nur nicht, was ich jetzt machen soll. Ich kann ja nicht einfach nach y integrieren (cos(x) also als Konstante betrachten), danach substituieren und danach noch nach x integrieren, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 29.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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