www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationIntegral
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integration" - Integral
Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral: Tip
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Fr 20.10.2006
Autor: jentowncity

Aufgabe
Gegeben sei die folgende Funktion:
f(r):= [mm] \integral_{0}^{\pi}{ln(1-2r cos(t)+r^{2}) dt} [/mm]     mit [mm] r\in(-1;1) [/mm]

Zeigen Sie, dass f konstant ist, und berechnen Sie dazu f'(r).

Also ich hab erstmal abgeleitet (im Integral) und folgenden Ausdruck bekommen:
[mm] f'(r)=\int_{0}^{\pi}~(\frac{d}{dr}~ln(1-2r*cos(t)+r^{2}))~dt [/mm]
    
      [mm] =\int_{0}^{\pi}~\frac{2(cos(t)-r)}{2r*cos(t)-r^{2}-1}~dt [/mm]

So, und hier steck ich nun und weiß nicht wie ich das ausrechnen soll.
Eine Umformung ist mir dann noch eingefallen, allerdings weiß ich nicht ob die mich hier weiterbringt:
      
      [mm] =2\int_{0}^{\pi}~\frac{r-cos(t)}{(r-cos(t))^{2}+sin^{2}(t)}~dt [/mm]

Kann mir jemand einen Tip geben wie ich hier vorgehen soll um das auszurechnen?

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Sa 21.10.2006
Autor: Leopold_Gast

Das scheint ja echt vertrackt. Schreibe

[mm]\frac{r - \cos{t}}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \ \mathrm{d}t = \frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right) \, \mathrm{d}t[/mm]

Beim zweiten Summanden der Klammer bringt dich die Substitution [mm]x = \frac{1 + r}{1 - r} \tan{\frac{t}{2}}[/mm] weiter. Für sie gilt:

[mm]\frac{(1 + r)^2 - (1 - r)^2 x^2}{(1 + r)^2 + (1 - r)^2 x^2} = \cos{t}[/mm]  und  [mm]\mathrm{d}t = \frac{2 (1 + r)(1 - r) }{(1 + r)^2 + (1 - r)^2 x^2} \, \mathrm{d}x[/mm]

Wenn du [mm]\cos{t}[/mm] und [mm]\mathrm{d}t[/mm] enstprechend ersetzt, kommst du bis auf konstante Faktoren auf [mm]\int~\frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2}[/mm]. Einen eleganteren Zugang sehe ich im Moment nicht. Aber ich bin [mm]\mu[/mm]-fast sicher, daß es einen gibt ...

Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 21.10.2006
Autor: jentowncity

Danke Leopold_Gast für deine Mühen!
Hut ab für diesen Weg, ich wär nie darauf gekommen! Ich bin beeindruckt!

Hab das jetzt nachgerechnet und Folgendes rausbekommen:

-2 [mm] \integral_{0}^{\pi}{\frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right) \, \mathrm{d}t }=\bruch{-1}{r}\integral_{0}^{\pi}{ dt}+\bruch{2}{r}\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x^{2}+1}} [/mm]   die Grenzen weiß ich nicht...

das ergibt dann:

[mm] \bruch{-t}{r}+\bruch{2}{r}arctan(\bruch{1+r}{1-r}tan\bruch{t}{2}) [/mm]  in den Grenzen von 0 bis pi.

[mm] =\bruch{-1}{r}(\pi+\limes_{n\rightarrow\pi}-2arctan(\bruch{1+r}{1-r}tan\bruch{n}{2}) [/mm]

als Lösung muss 0 rauskommen für r aus (-1;1). Das sagt auch Derive, aber wie kann man das zeigen?
Bzw. wie kann man zeigen, dass als Lösung von dem Grenzwert [mm] -\pi [/mm] rauskommt?
Kann mir da jemand einen Hinweis geben?



Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Sa 21.10.2006
Autor: Leopold_Gast

Bei mir sieht das leicht anders aus:

[mm]\int_0^{\pi}~\frac{1}{2r} \left( 1 + \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}} \right)~\mathrm{d}t \ = \ \frac{1}{2r} \int_0^{\pi}~\mathrm{d}t \ + \int_0^{\pi}~\frac{1}{2r} \cdot \frac{r^2 - 1}{r^2 + 1 - 2r \cos{t}}~\mathrm{d}t[/mm]

Mit der von mir angegebenen Substitution [mm]x = \frac{1 + r}{1 - r} \cdot \tan{\frac{t}{2}}[/mm] geht die Grenze [mm]t=0[/mm] in die Grenze [mm]x=0[/mm] und die Grenze [mm]t = \pi - 0[/mm] in die Grenze [mm]x = \infty[/mm] über. Nach Umrechnung des Integranden auf die Variable [mm]x[/mm] erhält man:

[mm]\frac{\pi}{2r} + \int_0^{\infty}~- \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{x^2 + 1}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{\pi}{2r} - \frac{\pi}{2r} = 0[/mm]

Das Finden der Substitution war übrigens kein Geniestreich. Vielmehr habe ich die gängigen Techniken zur Lösung trigonometrischer Integrale verwendet und alle dabei vorkommenden Substitutionen zu einer einzigen zusammengefaßt. Also reine Fleißarbeit und keine geniale Intuition.

Bezug
                                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Sa 21.10.2006
Autor: jentowncity

Ja, du hast Recht, bei mir hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Ich glaube, du hast ganz am Anfang vergessen die 2 mitzunehmen, für das ende macht das aber keinen Unterschied.

dann steht da: [mm] \frac{\pi}{r} [/mm] - [mm] \frac{\pi}{r} [/mm] = 0

Ich hätte noch eine letzte Bitte an dich Leopold_Gast:

Wenn du Zeit und Lust hast, könntest du mir vielleicht im Groben erläutern wie du auf die Substitutionen gekommen bist und was "die gängigen Techniken zur Lösung trigonometrischer Integrale" sind?

Und wie bist du auf die Grenzen gekommen? Das versteh ich auch noch nicht, wie man bei Substitutionen die Grenzen ändert.
Ich hab da noch einige Schwierigkeiten und würde das auch gerne jemand anderem erklären können.

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Mo 23.10.2006
Autor: jentowncity

Ok, das mit den Grenzen hab ich jetzt verstanden, aber auf die Substitutionen komm ich einfach nicht...

Wie hast du das gemacht?

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Mo 23.10.2006
Autor: Leopold_Gast

Vielleicht schaust du einmal []hier. Meine Substitution modifiziert das dort angegebene Verfahren.

Bezug
                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mo 23.10.2006
Autor: jentowncity

Danke nochmal Leopold_Gast, die Seite ist ja der Hammer! Hab das jetzt verstanden.

Du hast mir echt gut weitergeholfen!

MfG jentowncity

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]