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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:36 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo, ich bin's schon wieder...
Hab' hier ein Integral, dass ich lösen soll, und darin war ich noch nie gut. Wenn ich wüsste, mit welcher Methode, könnte ich es vielleicht, aber so habe ich erstmal gar keine Ahnung...
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*sin(x-\bruch{\pi}{2})*\delta(x-\pi)dx}
[/mm]
wobei [mm] \delta [/mm] wohl für die Dirac'sche Deltafunktion steht, die für x=0 eins ist und für alle anderen x Null ist. Es gilt übrigens:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)dt} [/mm] = 1
Vielleicht kommt man hier mit partieller Integration weiter? Aber was setze ich dann u und was v? Und muss ich dann zweimal partiell integrieren, schließlich habe drei Faktoren?
Keine Ahnung, ob das hier im richtigen Forum gelandet ist - eigentlich machen wir es in Informatik... Wäre aber trotzdem schön, wenn mir jemand einen Ansatz für die Rechnung geben könnte. 
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Bastiane!
Mit klassischer Integralrechnung kommt man hier nicht weiter, da es eine solche Funktion [mm] $\delta$ [/mm] gar nicht gibt und somit das Integral eigentlich undefiniert ist. Würdest du die klassischen Integralsätze darauf loslassen, wäre die Rechnung ähnlich wasserdicht wie dein Beweis, dass ein Krokodil grüner als lang ist oder was auch immer das war. 
Gerechnet wird hier stattdessen mit der sogenannten [mm] $\delta$-Distribution, [/mm] die ein Funktional auf einem speziellen Funktionenraum (den ich hier nicht näher ausführen kann, denn das würdest du aufgrund fehlenden Hintergrundwissens eh nicht verstehen, das ist Funktionalanalysis, also Stoff des 5./6. Semesters) darstellt.
Im wesentlichen werden dabei Funktionen, die bestimmten Eigenschaften genügen, wie folgt linear und stetig in den Körper abgebildet:
$f [mm] \mapsto \int [/mm] f(x) [mm] \delta(x-x_0) [/mm] dx\ [mm] (=\delta_{x_0}(f)) [/mm] := [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Man nimmt also einfach den Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0$.
[/mm]
Demzufolge ist
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*sin(x-\bruch{\pi}{2})*\delta(x-\pi)dx} = \pi^2 \sin(\pi - \frac{\pi}{2}) = \pi^2[/mm].
Solltet ihr mit [mm] $\delta$-Distributionen [/mm] anders rechnen, musst du es mir bitte mitteilen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für die Antwort - vielleicht wird das ja doch noch was mit diesem Übungszettel...
Keine Ahnung, wie wir mit [mm] \delta-Distributionen [/mm] rechnen, ich glaube gar nicht. Das ist ja nur in der Informatik-Vorlesung, und die Informatiker sind in der Regel nicht so begeisterte und gute Mathematiker... Aber ich denke, das müsste so hinkommen, ich frage mich nur, warum es für diese Aufgabe vier Punkte gibt.
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*sin(x-\bruch{\pi}{2})*\delta(x-\pi)dx} = \pi^2 \sin(\pi - \frac{\pi}{2}) = \pi^2[/mm].
Das ist dann ja wohl die Lösung der Aufgabe, oder brauche ich die Integrationsgrenzen noch für etwas? Was wäre, wenn da statt [mm] \infty [/mm] eine Zahl stände? Und kommt da immer etwas Konstantes raus oder kann da auch ne Funktion rauskommen?
Wäre schön, wenn ich noch irgendwas hätte, was ich da hin schreiben könnte, ich komme mir etwas doof vor, wenn ich nur diese eine Zeile hinschreibe, dann ist die Lösung ja kürzer als die Aufgabenstellung...
Ist aber nicht ganz so wichtig, ich glaube, ich muss die Aufgaben gar nicht unbedingt machen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 24.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bastiane!
Kann das Problem als gelöst angesehen werden?
Liebe Grüße,
Hanno
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