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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 18.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Beim Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift stoße ich auf folgendes Beispiel:
[mm] f_n(x)= e^{n-x}, [/mm] x>n
= 0, x [mm] \le [/mm] n
Nun soll angeblich
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {f_n(x) dx}=1 [/mm] sein.
Aber irgendwie sehe ich das nicht.
Ich habe es mal so versucht:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {f_n(x) dx}=[-e^{n-x}]^{\infty}_{-\infty} [/mm] aber irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter. Hab' ich irgendwas Einfaches übersehen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane!
> Hallo!
> Beim Nacharbeiten der Vorlesungsmitschrift stoße ich auf
Sehr vorbildlich!
> folgendes Beispiel:
> [mm]f_n(x)= e^{n-x},[/mm] x>n
> = 0, x [mm]\le[/mm] n
>
> Nun soll angeblich
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {f_n(x) dx}=1[/mm] sein.
> Aber irgendwie sehe ich das nicht.
>
> Ich habe es mal so versucht:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {f_n(x) dx}=[-e^{n-x}]^{\infty}_{-\infty}[/mm]
> aber irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter. Hab' ich
> irgendwas Einfaches übersehen?
Vielleicht die abschnittsweise Definition von [mm] $f_n$:
[/mm]
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} {f_n(x) dx}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{-\infty}^{n} {f_n(x) dx}+\integral_{n}^{\infty} {f_n(x) dx}$ [/mm]  Intervalladditivität
[mm] $=\integral_{-\infty}^{n} [/mm] {0 [mm] dx}+\integral_{n}^{\infty} {e^{n-x}dx}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{-\infty}^{n} [/mm] {0 [mm] dx}+\limes_{m\to\infty} \integral_{n}^{m} {e^{n-x}dx}$
[/mm]
[mm] $=0+\limes_{m\to\infty} \left\lbrack -e^{n-x}\right\rbrack_n^m$
[/mm]
[mm] $=\limes_{m\to\infty} \left\lbrack -e^{n-m}+e^{0}\right\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\limes_{m\to\infty} \left\lbrack \underbrace{-e^{n-m}}_{{\downarrow \atop 0}}+1\right\rbrack$
[/mm]
$=1$
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 18.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Marc!
Danke für deine ausführliche Antwort. War doch etwas länger als ich gedacht hatte, aber genauso einfach, wie ich erwartet hatte.
Viele Grüße
Christiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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