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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 11.11.2007 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{\bruch{2x+y}{x^2+y^2} dy dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
bei dem Integral muss ich also zuerst nach dy integrieren. Da fehlt mir der Ansatz. Wie kann ich die Stammfunktion für diesen gewaltigen Ausdruck finden?
Die Stammfunktion von [mm] \bruch{dy}{x^2+y^2} [/mm] ist ja [mm] \bruch{1}{x}arctan \bruch{y}{x}. [/mm] Aber was mache ich mit dem "restlichen" Zähler 2x+y?
Für eure Hilfe sage ich schon mal Dankeschön im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem sonstigen Forum gestellt.
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Hier führt Substitution sowie Dein genanntes Integral mit dem [mm] $\arctan(...)$ [/mm] zum Ziel. Forme wie folgt um:
[mm] $$\bruch{2x+y}{x^2+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x}{x^2+y^2}+\bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x}{x^2+y^2}+\bruch{1}{2}*\bruch{2y}{x^2+y^2} [/mm] $$
Den ersten Bruch nach Deinem Vorschlag integrieren. Und beim 2. Integral steht nun im Zähler exakt die Ableitung des Nenners.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 11.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar, vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
Du schreibst, im zweiten Teil steht im Zähler die Ableitung des Nenners. Was heißt das jetzt für meine Stammfunktion?
Wenn ich den ersten Teil [mm] \bruch{2x}{x^2+y^2} [/mm] nach dy integriere, kann ich doch 2x als Konstante auffassen und die Stammfunktion des ersten Teils ist dann [mm] \bruch{2xy}{x^2y+ \bruch{1}{3}y^3} [/mm] ist das richtig?
Der zweite Teil [mm] \bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] erhält doch dann als Stammfunktion [mm] \bruch{1}{x}arctan \bruch{y}{x}. [/mm]
Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Jetzt solltest Du Dir Deinen eigenen Frageartikel sowie meine Antwort noch einmal sorgfältig durchlesen. Da ist Dir doch einiges durcheinander geraten ...
Du hast doch selber geschrieben, wie die Stammfunktion des ersten Bruches lautet:
[mm] $$\integral{\bruch{2x}{x^2+y^2} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] 2x*\blue{\integral{\bruch{dy}{x^2+y^2}}} [/mm] \ = \ [mm] 2x*\blue{\bruch{1}{x}*\arctan\left(\bruch{y}{x}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 2*\arctan\left(\bruch{y}{x}\right)$$
[/mm]
Und bei dem 2. Bruch sollst Du $z \ := \ [mm] x^2+y^2$ [/mm] substituieren. Oder Du wendest gleich die Formel für die logarithmische Integration an, da bei [mm] $\integral{\bruch{2y}{x^2+y^2} \ dy}$ [/mm] Im Zähler exakt die Ableitung des Nenners steht:
[mm] $$\integral{\bruch{f'(t)}{f(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left| \ f(t) \ \right|+c$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 12.11.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Loddar,
sorry für die Verwirrung und vielen Dank für Deinen ausführlichen post. Jetzt ist es mir klar geworden. Bin wohl etwas durcheinander geraten... Nochmals, vielen Dank und viele Grüße in die Hauptstadt!
Andreas
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