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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Nico00 |
| Aufgabe | Berechne folgendes Integral
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}}dx} [/mm] |
Hallo Miteinander,
diese Aufgabe würde ich versuchen, mit Partialbruchzerlegung zu lösen.
[mm] \bruch{x^{3}+x}{x^{4}+2x^{2}}=\bruch{x^{3}+x}{(x^{2}+2)*x^{2}}
[/mm]
=> [mm] \bruch{x^{3}+x}{(x^{2}+2)*x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x^{2}+2}+\bruch{b}{x^{2}}
[/mm]
=> [mm] x^{3}+x=ax^{2}+b*(x^{2}+2)
[/mm]
Und ab hier komm ich leider nicht mehr weiter :-/
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nico
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Hallo Nico,
kennst du das sog. logarithmische Integral [mm] \red{\text{Edit:}} \blue{\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}}, [/mm] wo im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
[mm] \blue{\text{sorry, habe mich bei der Formel vertippt, aber verbal stand's richtig da ;-)}}
[/mm]
Das hat bekanntermaßen die Stammfunktion [mm] $\ln\left|f(x)| \ + \ C$
Falls ja, schaue mal, ob du das Integral, insbesondere den Zähler nicht mit einfachen Mitteln so umformen kannst, dass das Integral diese Form hat
Falls nicht, hilft eine Substitution (auf der dieses logarithmische Integral auch beruht) weiter
Substituiere $u(x):=x^4+2x^2$
Dann ist $u'(x)=\frac{du}{dx}=...$, also $dx=....$
Das mal alles ersetzen und dann integrieren.
Danach resubstituieren und dann die Grenzen einsetzen
Hilft's weiter?
Gruß
schachuzipus
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 10.01.2008 | | Autor: | Nico00 |
> Hallo Nico,
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> kennst du das sog. logarithmische Integral
> [mm]\int{\frac{f(x)}{f'(x)} \ dx}[/mm], wo im Zähler die Ableitung
> des Nenners steht?
>
> Das hat bekanntermaßen die Stammfunktion [mm]\ln\left|f(x)| \ + \ C[/mm]
>
> Falls ja, schaue mal, ob du das Integral, insbesondere den
> Zähler nicht mit einfachen Mitteln so umformen kannst, dass
> das Integral diese Form hat
Hallo,
ich versuch irgendwie den Zähler "umzubauen", aber ich bekomm es nicht hin, dass der Nenner die Ableitung vom Zähler ist.
Gibt es da bestimmte Vorgehnsweisen???
Gruß, Nico
> Falls nicht, hilft eine Substitution (auf der dieses
> logarithmische Integral auch beruht) weiter
>
> Substituiere [mm]u(x):=x^4+2x^2[/mm]
>
> Dann ist [mm]u'(x)=\frac{du}{dx}=...[/mm], also [mm]dx=....[/mm]
>
> Das mal alles ersetzen und dann integrieren.
>
> Danach resubstituieren und dann die Grenzen einsetzen
>
>
> Hilft's weiter?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo!
[mm] \bruch{x³+x}{x^{4}+2x²} [/mm] Nun so darstellen: [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
Es folgt dann [mm] \bruch{x³+x}{4(x³+x)}
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Do 10.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> [mm]\bruch{x³+x}{x^{4}+2x²}[/mm] Nun so darstellen:
> [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
Ich verstehe nicht, weshalb ihr alle auf [mm] $\frac{\blue{f(x)}}{\red{f'(x)}}$ [/mm] abfährt: es ist doch [mm] $\left(\ln f(x)\right)'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\frac{\red{f'(x)}}{\blue{f(x)}}$ [/mm] (Kettenregel).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Do 10.01.2008 | | Autor: | Nico00 |
> Hallo!
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> [mm]\bruch{x³+x}{x^{4}+2x²}[/mm] Nun so darstellen:
> [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
> Es folgt dann [mm]\bruch{x³+x}{4(x³+x)}[/mm]
>
> Gruß
Hallo,
ich dachte, dass ich den Zähler so umformen muss, dass der Nenner die Ableitung ist.
[mm] \bruch{x³+x}{x^{4}+2x²}=\bruch{x³+x}{4(x³+x)}?? [/mm] Hier gilt doch nicht die Gleichheit. Oder muss die gar nicht gelten??
Darf darf man so vorgehen??
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> > Hallo!
> >
> > [mm]\bruch{x³+x}{x^{4}+2x²}[/mm] Nun so darstellen:
> > [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
> > Es folgt dann [mm]\bruch{x³+x}{4(x³+x)}[/mm]
> >
> > Gruß
>
> Hallo,
>
> ich dachte, dass ich den Zähler so umformen muss, dass der
> Nenner die Ableitung ist.
Leider ist dies ein kleines Missverständnis, das durch einen Schreibfehler in der entsprechenden Antwort von schachuzipus entstanden ist: effektiv musst Du versuchen, den Integranden in das Produkt [mm] $\frac{1}{f(x)}\cdot [/mm] f'(x)$ bzw. zu [mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}$ [/mm] umzuformen.
Du kannst also so vorgehen:
[mm]\int_a^b \frac{x^3+x}{x^4+2x^2}\;dx = \tfrac{1}{4}\int_a^b \frac{1}{x^4+2x^2}\cdot (4x^3+4x)\; dx=\tfrac{1}{4}\int_a^b\frac{1}{x^4+2x^2}\cdot\left(x^4+2x^2\right)'\;dx=\tfrac{1}{4}\cdot \Big[\ln|x^4+2x^2|\Big]_{x=a}^b[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Do 10.01.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
im Zähler steht die Ableitung vom Nenner, genau umgekehrt,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=ln|f(x)|+C
[/mm]
das sieht jetzt deutlich freundlicher aus,
Steffi
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