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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Sa 15.01.2005 | | Autor: | humms |
Hallo zusammen,
ich stehe vor einer Aufgabe und weiß nicht so richtig wie ich die am Beßten angehen sollte.
[mm]\integral_{}^{}\bruch{x^3+x^2+1}{x^2*(x^2+1)}dx[/mm]
1. Gedanke: Ich habe mir gedacht, ich multipliziere den Nenner aus.
Danach vollziehe ich eine Partialbruchzerlegung um die dann entstandenen Brüche einzeln integrieren zu können. Das ist aber sehr Zeitaufwändig!
2. Gedanke: Nenner ausmultiplizieren. Dann mittels Integration durch Substitution lösen. Also der Nenner wird quasi mein [mm]u = x^4+x^2[/mm] und der Rest [mm]\integral_{}^{}\bruch{x^3+x^2+1}{u}dx[/mm] und dann weiter ...
3. Gedanke: Den Nenner ausmultiplizieren und den Bruch [mm]\integral_{}^{}\bruch{x^3+x^2+1}{x^4+x^2}dx[/mm] als Produkt schreiben [mm]\integral_{}^{}(x^3+x^2+1)(x^{-4}+x^{-2})dx[/mm]und dann Integrieren nach der partiellen Integration (Produktintegration).
Stimmen meine Gedanken soweit?
Oder gibt es eine Möglichkeit den Ausgangsbruch durch Umformen so zu vereinfachen, dass die Integration relativ einfach wird?
gruß,
humms
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo,
hier ist das einzig richtige, was man tun kann, eine Partialbruchzerlegung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 15.01.2005 | | Autor: | JanikK |
gib es zum integrieren nicht auch eine quotienten regel??
janik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 15.01.2005 | | Autor: | humms |
Soweit ich das jetzt verstanden habe, gibt es diese sogenannte Quotientenregel nur beim Differentieren.
Und zu meiner Aufgabe: Wenn ich also die Partialbruchzerlegung mache, dann habe ich doch im Nenner [mm]\integral_{}^{}\bruch{x^3+x^2+1}{x^4+x^2}dx[/mm].
Gut, und wie fahre ich dann fort?
Ich behandle den Nenner erstmal alleine und suche mir dazu die Nullstellen?!
Die Erste errate ich oder finde ich durch probieren heraus und dann fahre ich mit z.B. dem Horner-Schema fort?!
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Hallo,
zunächst stellt Du den Ausdruck so dar:
[mm]\frac{{x^3 \; + \;x^2 \; + \;1}} {{x^2 \,\left( {x^2 \; + \;1} \right)}}\; = \;\frac{A} {x}\; + \;\frac{B} {{x^2 }}\; + \;\frac{C} {{x^2 \; + \;1}}[/mm]
Danach intregrierst Du diesen Ausdruck:
[mm]\int {\frac{A} {x}\; + \;\frac{B} {{x^2 }}\; + \;\frac{C} {{x^2 \; + \;1}}\;dx} [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Sa 15.01.2005 | | Autor: | humms |
Ok, soweit ist es mir klar geworden. Wo ich jetzt noch ein Problem habe ist: Beim Ausdruck im Nenner [mm]x^4+x^2[/mm] fehlen doch noch ein paar Glieder z.B. [mm]x^3[/mm], [mm]x[/mm] und der Koeffizient.
Wie behandel ich jetzt den Nenner wenn ich daraus die Nullstellen suchen will?
So [mm]x^4+0*x^3+x^2+x+0[/mm]?
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Hallo humms,
> Ok, soweit ist es mir klar geworden. Wo ich jetzt noch ein
> Problem habe ist: Beim Ausdruck im Nenner [mm]x^4+x^2[/mm] fehlen
> doch noch ein paar Glieder z.B. [mm]x^3[/mm], [mm]x[/mm] und der Koeffizient.
>
> Wie behandel ich jetzt den Nenner wenn ich daraus die
> Nullstellen suchen will?
> So [mm]x^4+0*x^3+x^2+x+0[/mm]? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $x^4 [/mm] + 0 [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 0x +0$ meinst du.
Das ist die eine Möglichkeit; so ist sie auch richtig.
Aber:
viel einfacher ist folgender Weg:
[mm]0=x^4+x^2 = x^2 (x^2+1)[/mm] - wie es ursprünglich auch gegeben war.
[mm] \Rightarrow $x^2=0$ [/mm] oder [mm] $(x^2+1)=0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 0 (doppelte Nullstelle), weil [mm] x^2+1 [/mm] >0 für alle x.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 15.01.2005 | | Autor: | humms |
Danke für die schnelle Hilfe!
Noch ein Gedankengang...
Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle und zwar x=0. Und was ist mit [mm]x^2+1[/mm], dort würde beim Ausrechnen (pq-Formel) eine negative Wurzel herauskommen und das ganze geht in den komplexern Bereich hinein?
gruß,
humms
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo humms
wenn du - wie ich annehme - eine reelle partialbruchzerlegeung machen willst folge doch meiner antwort.
du kannst dies aber natürlich auch mit den beiden komplexen nullstellen [m] \pm i [/m] berechen.
grüße
andreas
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Hallo humms,
> Danke für die schnelle Hilfe!
>
> Noch ein Gedankengang...
> Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle und zwar
> x=0. Und was ist mit [mm]x^2+1[/mm], dort würde beim Ausrechnen
> (pq-Formel) eine negative Wurzel herauskommen und das ganze
> geht in den komplexern Bereich hinein?
>
fragst du auf dem "normalen" Schulniveau?
Leider gibst du deinen math-Hintergrund nicht zu erkennen. Es wäre für die Antwort leichter, wenn du ein wenig mehr in dein Profil einträgst. 
Also: im Reellen gibt's eben nur eine (doppelte) Nullstelle des Nenners.
Da Partialbruchzerlegung eher selten in der Schule gemacht wird, bin ich von Rechnungen in [mm] \IR [/mm] ausgegangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 15.01.2005 | | Autor: | humms |
Oh, sorry ... das habe ich nicht beachtet.
Hintergrund: Ich habe in den Foren nach Partialbruch gesucht und bin in diesem Forum gelandet, deswegenn habe ich auch meine Frage hier gestellt!
Mein Schulniveau ist Fachhochschule.
Also schließe ich aus der Aufgabenstellung, die ich hier vor mir habe, das es warscheinlich gewollt ist ins Komplexe zu gehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi humms
also es ist durchaus nicht unüblich partialbruchzerlegung mit reellen nennerfunktionen auch auf "höherem niveau" zu machen. wenn du hier allerdings ins komplexe gehen willst muss du eben den ansatz
[m] \frac{{x^3 \; + \;x^2 \; + \;1}} {{x^2 \,\left( {x^2 \; + \;1} \right)}}\; = \;\frac{A} {x}\; + \;\frac{B} {{x^2 }}\; + \;\frac{C} {x-i} + \frac{D}{x-i} [/m]
wählen und auch hier die vier konstanten [m] A,B, C [/m] und [m] D [/m] berechnen (ich erhalte dann [m] C = - \frac{1}{2} [/m] und [m] D = \frac{1}{2} [/m] - $A$ und $B$ sind gleich den entsprechenden konstanten der reellen zerlegung).
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
eine kleine nachbesserung zur antwort von MathePower.
bei der partialbruchzerlegung muss du im zähler ein lineares polynom ansetzen, wenn der nenner in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] keine nullstellen hat, hier also
[m] \frac{{x^3 \; + \;x^2 \; + \;1}} {{x^2 \,\left( {x^2 \; + \;1} \right)}}\; = \;\frac{A} {x}\; + \;\frac{B} {{x^2 }}\; + \;\frac{Cx + D} {{x^2 \; + \;1}} [/m]
und nun mit den bekannten (?) methoden $A, B, C$ und $D$ bestimmen und anschleißend integrieren.
grüße
andreas
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