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| Aufgabe | | [mm]\integral{\wurzel{2ax-x^2}dx}[/mm] |
Hallo allerseits!
In meinem Buch ist diese Übung im Kapitel "Substitution"drinnen. Ich komme jedoch nicht drumherum einmal partiell zu integrieren. Mich würde interessieren, ob es eine Möglichkeit gibt, diese Aufgebe nur durch Substituition zu lösen.Übrigens weiß ich nicht, ob die Stammfunktion so stimmt. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.Vielen Dank im Voraus! 
So hab ichs gemacht:
quadratisch ergänzt:
[mm] \integral{\wurzel{2ax-x^2}dx}=\integral{\wurzel{a^2-(x-a)^2}dx}
[/mm]
Subst. x-a=u [mm] \bruch{du}{dx}=1 [/mm] dx=du
[mm] \integral{\wurzel{a^2-u^2}du}
[/mm]
Erweitert:
[mm] \integral{\bruch{a^2-u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}}
[/mm]
[mm] a^2*\integral{\bruch{du}{\wurzel{a^2-u^2}}}-\integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}
[/mm]
Vom 1. Integral die Stammfunktion lautet doch: [mm] a^2*arcsin(\bruch{u}{a})
[/mm]
oder?
Und jetz weiß ich nicht wie weiter ohne partielle Integration:
[mm] v'=\bruch{u}{\wurzel{a^2-u^2}} v=-\wurzel{a^2-u^2}
[/mm]
g=u g'=1
[mm] \integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}=-\wurzel{a^2-u^2}*u+\integral{\bruch{a^2-u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}du}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}=-\wurzel{a^2-u^2}*u+a^2*\integral{\bruch{du}{\wurzel{a^2-u^2}}}-\integral{\bruch{u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}du}
[/mm]
Also:
[mm] a^2*arcsin(\bruch{u}{a})-\bruch{-\wurzel{a^2-u^2}*u+a^2*arcsin(\bruch{u}{a})}{2}
[/mm]
[mm] a^2*arcsin(\bruch{x-a}{a})-\bruch{-\wurzel{a^2-(x-a)^2}*(x-a)+a^2*arcsin(\bruch{(x-a)}{a})}{2}
[/mm]
Stimmt mein Ergebniss überhaupt?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
boah, da haste dir ja einen Haufen Arbeit gemacht ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Das ist ein ganz schöner Brocken 
> [mm]\integral{\wurzel{2ax-x^2}dx}[/mm]
> Hallo allerseits!
>
> In meinem Buch ist diese Übung im Kapitel
> "Substitution"drinnen. Ich komme jedoch nicht drumherum
> einmal partiell zu integrieren. Mich würde interessieren,
> ob es eine Möglichkeit gibt, diese Aufgebe nur durch
> Substituition zu lösen.
Ich denke nicht, dass du ohne eine partielle Integration unterwegs auskommst, hier kommt wahrlich alles Üble zusammen
Ich hatte eine andere Substitution nach deiner ersten Umformung versucht, es lief dann auf ein übriggebliebenes Integral [mm] $\int{\sin^2(t) \ dt}$ [/mm] hinaus, das man dann trotz allem mit partieller Integration erschlagen muss
> Übrigens weiß ich nicht, ob die Stammfunktion so stimmt. Vielleicht kann mir ja jemand
> helfen.Vielen Dank im Voraus!
>
> So hab ichs gemacht:
>
> quadratisch ergänzt:
>
> [mm]\integral{\wurzel{2ax-x^2}dx}=\integral{\wurzel{a^2-(x-a)^2}dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das war eine sehr gute Idee
>
> Subst. x-a=u [mm]\bruch{du}{dx}=1[/mm]
> dx=du
>
> [mm]\integral{\wurzel{a^2-u^2}du}[/mm]
>
> Erweitert:
> [mm]\integral{\bruch{a^2-u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}}[/mm]
Jo
>
> [mm]a^2*\integral{\bruch{du}{\wurzel{a^2-u^2}}}-\integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}[/mm]
>
> Vom 1. Integral die Stammfunktion lautet doch:
> [mm]a^2*arcsin(\bruch{u}{a})[/mm]
> oder?
>
> Und jetz weiß ich nicht wie weiter ohne partielle
> Integration:
>
> [mm]v'=\bruch{u}{\wurzel{a^2-u^2}} v=-\wurzel{a^2-u^2}[/mm]
>
> g=u
> g'=1
>
>
> [mm]\integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}=-\wurzel{a^2-u^2}*u+\integral{\bruch{a^2-u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}du}[/mm]
>
>
> [mm]\integral{\bruch{u^2du}{\wurzel{a^2-u^2}}}=-\wurzel{a^2-u^2}*u+a^2*\integral{\bruch{du}{\wurzel{a^2-u^2}}}-\integral{\bruch{u^2}{\wurzel{a^2-u^2}}du}[/mm]
>
> Also:
>
>
> [mm]a^2*arcsin(\bruch{u}{a})-\bruch{-\wurzel{a^2-u^2}*u+a^2*arcsin(\bruch{u}{a})}{2}[/mm]
>
>
> [mm]a^2*arcsin(\bruch{x-a}{a})-\bruch{-\wurzel{a^2-(x-a)^2}*(x-a)+a^2*arcsin(\bruch{(x-a)}{a})}{2}[/mm]
>
> Stimmt mein Ergebniss überhaupt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja, das haste echt schön hinbekommen und viel rumgetrickst!
Du kannst das Ergebnis noch zusammenfassen, die arcsin-Ausdrücke kannste addieren, bleibt [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left[a^2\cdot{}\arcsin\left(\frac{x-a}{a}\right)+(x-a)\cdot{}\sqrt{a^2-(x-a)^2}\right]$
[/mm]
>
>
> Gruß
>
> Angelika
>
Lieben Gruß
schachuzipus
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Danke Schachuzipus, für die Korrektur und das Kompliment....![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
Ich hab ja [mm] \integral{sin^2(x)}dx [/mm] bis jetzt auch immer partiell integriert(ist sicher viel unkomplizierter) aber bei diesen Substitutionsaufgaben vom Buch war ich einmal gezwungen es anders zu machen, und es geht tatsächlich:
[mm] sin^2(x)=\bruch{1-cos(2x)}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{1-cos(2x)dx} =\bruch{1}{2}\integral{dx}-\bruch{1}{2}\integral{cos(2x)dx}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{2}-\bruch{sin(2x)}{4}
[/mm]
Vielleicht kann man so tatsächlich das ganze Integral durch Substitution lösen.......
LG
Angelika
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Hallo nochmal,
ja, das ist natürlich ein guter Trick
Daran hatte ich überhaupt nicht gedacht.
So geht's dann auch komplett ohne partielle Integration.
Das Integral, das uns hier Kopfschmerzen macht, ist ja dieses:
[mm] $\int{\frac{u^2}{\sqrt{a^2-u^2}} \ du}$
[/mm]
Substituiere hier mal [mm] $t:=\arcsin\left(\frac{u}{a}\right)$
[/mm]
Damit solltest du dann auf ein Integral mit [mm] $\sin^2(t)$ [/mm] kommen, das nach t zu integrieren ist.
Mit deiner feinen Umformung dann auch ohne part. Integration
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus!
Vielen Dank nochmal.....![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
u=a*sin(t)
du=a*cos(t)dt
[mm] \integral{\bruch{a*sin^2(t)*a*cos(t)dt}{\wurzel{1-sin^2(t)}}}
[/mm]
[mm] \bruch{a}{a}\integral{\bruch{sin^2(t)*cos(t)}{cos(t)}dt}
[/mm]
etc.
Danke für die Idee!
LG
Angelika
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Hello again,
> Hallo schachuzipus!
>
> Vielen Dank nochmal.....
>
> u=a*sin(t)
> du=a*cos(t)dt
>
> [mm]\integral{\bruch{a^{\red{2}}*sin^2(t)*a*cos(t)dt}{\red{a}\cdot{}\wurzel{1-sin^2(t)}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a}{a}\integral{\bruch{sin^2(t)*cos(t)}{cos(t)}dt}[/mm]
Na, stimmt denn dieser Vorfaktor?
Da haste dich vertippelt, aber sonst ist dies der Weg!
>
> etc.
>
> Danke für die Idee!
Gerne, und ich danke dir für die Idee, die partielle Integration zu umgehen!
>
> LG
>
> Angelika
Schönen Abend
schachuzipus
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Stimmt, da hab ich mich vertippt, es sollte heißen:
[mm] a*\integral{sin^2(t)dt}
[/mm]
Schönen Abend wünsche ich auch dir!
Angelika
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Hallo,
ich denke eher, dass der Voefaktor [mm] $a^2$ [/mm] heißen sollte
LG
schachuzipus
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Stimmt, das hab ich jetzt übersehen......![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .Ist wohl Zeit ins Bett zu gehen.
Danke für deinen Hinweis!
LG
Angelika
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