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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Di 05.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Eine Prüfungsfrage lautet:
Wann ist eine Fuktion integriebar und wie sieht ihr Integral aus?
Meine Antwort wäre dazu die Folgende:
Für [mm] f: X \to \overline{ \mathbb R } [/mm] seien [mm] f^+ , f^- : \left[ 0, \infty ] [/mm] definiert durch [mm] f^+ := sup (f,0) , f^- = - inf (f,0) [/mm].
Dann ist [mm] f= f^+ - f^- [/mm] und [mm] | f | = f^+ + f^- [/mm]
f ist messbar, genau dann wenn [mm] f^+ , f^- [/mm] messbar sind.
Eine Funktion heißt ( µ ) - integrierbar, wenn sie messbar und wenn
[mm] \integral f^+ d \mu [/mm] und [mm] \integral f^- d \mu [/mm] endlich sind.
Wenn dies der Fall ist schreibt man
[mm] \integral f d \mu = \integral f^+ d \mu + \integral f^- d \mu [/mm]
Würde denn das reichen? Oder muss ich da etwa noch irgendwie die Treppenfunktionen ins spiel bringen mit ihrer Normaldarstellung?
Zu der Frage wie genau [mm] f^+ [/mm] und [mm] f^- [/mm] ausschauen, und ob ich das graphisch erläutern kann, weiß ich leider keine Antwort :-(.
Wie soll das gehen?
Vielen Dank für die Hilfe!
irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Di 05.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Kommt drauf an wie genau der Prof es haben will. Er könnte noch verlangen, dass du "messbar" definierst, oder eben das ganze Zeug mit den Treppenfunktionen erklärst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
ok, jetzt hab ich mir eine Zusammenfassung gemacht, was ich alles ggf auf die Frage sagen könnte. Jedoch bleibt immernoch die Frage:
Wie genau sehen [mm] f^+ [/mm] und [mm] f^- [/mm] aus, und wie kann man diese beide graphisch erläutern?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
schau mal in dieses ![[]](/images/popup.gif) Skript auf S. 30 (Kap. 5, Lebesgue-Integral)
Da ist eine Gegenüberstellung der Graphen einer Funktion $f, [mm] f^{+}$ [/mm] und [mm] $f^{-}$
[/mm]
Das sollte die Frage nach dem graphischen Zusammenhang klären 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für den Hinweiß!
Viele Grüße
Irmchen
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