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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 17.03.2009 | | Autor: | C.B. |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit Graph K durch f(x) = [mm] \bruch{e*ln(x))²}{x}.
[/mm]
Berechnen Sie den Inhalt A(u) der Fläche, die K mit der x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=u mit 0 < u < 1 eingeschlossen wird.
Wie ist u für A(u) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] zu wählen?
Geben Sie das Verhalten von A(u) für u-->0 an. |
Integrieren ist nicht grad meine Stärke und bei diesem Integral bräuchte ich dringend Tipps..
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> Gegeben ist die Funktion f mit Graph K durch f(x) =
> [mm]\bruch{e*ln(x))²}{x}.[/mm]
>
> Berechnen Sie den Inhalt A(u) der Fläche, die K mit der
> x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=u mit 0 < u < 1
> eingeschlossen wird.
> Wie ist u für A(u) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] zu wählen?
> Geben Sie das Verhalten von A(u) für u-->0 an.
> Integrieren ist nicht grad meine Stärke und bei diesem
> Integral bräuchte ich dringend Tipps..
1. Weg: [mm] $\int \frac{\ln^2(x)}{x}\,dx=\int \underset{\uparrow}{\frac{1}{x}}\cdot\underset{\downarrow}{\ln^2(x)}\,dx$ [/mm] partiell integrieren: und zwar [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] integrieren und [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] ableiten. Die daraus resultierende Gleichung dann nach [mm] $\int\frac{\ln^2(x)}{x}\,dx$ [/mm] auflösen.
2. Weg: Substitution $z := [mm] \ln(x)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 19.03.2009 | | Autor: | C.B. |
Also
A(u) = [mm] \integral_{0}^{u}{\bruch{(eln(x))²}{x} dx}
[/mm]
z = ln(x)
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] bzw. dx = xdz
=> [mm] \integral_{0}^{u}\bruch{(ez)²}{x}{ dx}
[/mm]
Aber dann habe ich ja immer noch ein x im Integral!
Wie mache ich das?
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Hallo
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}* ln^{2}(x)dx}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
v=ln(x)
[mm] u=ln^{2}(x)
[/mm]
[mm] u'=\bruch{2}{x}*ln(x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}* ln^{2}(x)dx}=ln^{3}(x)-2\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}* ln^{2}(x)dx}
[/mm]
[mm] 3\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}* ln^{2}(x)dx}=ln^{3}(x)
[/mm]
du hast substituiert, dx=x*dz, ersetze also dx durch x*dz, du erkennst, was passiert,
Steffi
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