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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 So 20.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo 
ich habe folgende Aufgabe:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi} [/mm] {sin(m*x)*sin(n*x) dx}
wobei das Integral für die Fälle a) m=n und b) [mm] m\not=n [/mm] berechnet werden soll.
im Fall a komme ich durch einsetzen von [mm] sin^{2}(mx)=\bruch{1}{2}*cos(2mx-1)=\bruch{-1}{2}+\bruch{1}{2}*cos(2mx)
[/mm]
auf [mm] \pi-2(\bruch{sin(2m\pi)}{4m}) [/mm] wobei ein gutes matheprogramm (ich kann die zwischenschritte leider nicht sehen) dann noch das m eliminiert und ich weiß nicht (noch nicht) wie ich das per hand machen kann.
ebenso verhält es sich bei Fall b) wo ich auf [mm] \bruch{sin(\pi(m-n))}{2(m-n)}-\bruch{sin(\pi(m+n))}{2(m+n)}.
[/mm]
das Programm kommt beide Male auf das selbe Ergebnis: [mm] \bruch{-9}{-3+x}-3*ln(-3+x)+4*ln(-2+x)
[/mm]
eine etwas ausführlichere Antwort - vielleicht auch mit einen einfacheren Beispiel zum eliminieren (fürs verständnis) - wäre sehr nett.
MfG kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 So 20.03.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Bist du dir sicher das du alles richtig in dein Mathe Programm eingeben hast??
Ich benutze Maple und ohne es explizit nachzurechnen hat maple ergebnisse geliefert die beim ersten Blick gleiche Ergebnisse wie deine Rechnungen liefern.
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Hi kruder77,
ich weiß zwar nicht, welches Programm Du verwendet hast, aber sooo gut kann es nicht sein. Wie kommt es bei einem bestimmten Integral auf einen Ausdruck, der die Integrationsvariable enthält?
Auch wenn Du es nicht erwähnt hast, bin ich mir sicher, dass m und n [mm] $\in \IN$ [/mm] sein sollen.
Damit ist die Frage, wie das m in [mm] $\sin(2m\pi)$ [/mm] "verschwunden" ist, ja wohl hinfällig. Ebenso vereinfacht sich Dein Ergebnis im Falle [mm] $m\not=n$, [/mm] da Summe und Differenz zweier natürlicher Zahlen [mm] $\in\IZ$ [/mm] sind (dein Ergebnis sollte aber doppelt so groß sein; dann kannst Du den Fall n=m auch durch Grenzwertbildung ermitteln).
Eine Recherche zu "Orthogonalitätsbedingung" und "Basisfunktionen" könnte weitere Einsichten zu Tage fördern.
Alles Gute,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:50 Mo 21.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
hallo,
danke fürs schnelle antworten!
ich benutze mathematica und die aufgabe war schon vorher vom prof. eingegeben (habe nichts verändert)...
na ich werde ihn wohl mal selber drauf ansprechen müssen ob das nun richtig ist oder nicht...
> Eine Recherche zu "Orthogonalitätsbedingung" und "Basisfunktionen" könnte weitere Einsichten zu Tage fördern.
was ist die "Orthogonalitätsbedingung" ? und was kann man aus dieser schließen?
MfG kruder77
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:00 Mo 21.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
also, ich habe eben gerade nochmal das gesamte dokument (kompletter übungzettel) durchlaufen lassen und komischer weise, kommt das programm diesmal auf vereinfachte ergebnisse von meinen ergebnissen....
ich hatte beim lernen gestern die aufgaben immer einzeln laufen lassen nachdem ich sie gerechnet habe (weil ich sonst dazu neige mal schnell hinzuschauen anstatt nachzudenken)...
war also definitiv ein anwendungsfehler meinereiner (sorry)!!!
wüsste aber trotzdem gerne was ich mit der "Orthogonalitätsbedingung" machen kann!
mfg kruder77
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Na, da habe ich mich ja in was hinein geritten ...
Aaaalso - nehmen wir mal an, Du möchtest eine Basis für einen Vektorraum finden. Besonders umgänglich sind da in vielerlei Hinsicht diejenigen, deren Basisvektoren a) paarweise senkrecht aufeinander stehen und b) die Länge (besser: Norm) 1 haben. Die Basis sei nun die Menge [mm] $\{b_{i},i\in\{1,2,..,n\}\}$
[/mm]
a) würde man als [mm] $\forall [/mm] (i,j) [mm] \in \{1,..,n\}^{2}: i\not=j \Rightarrow b_{i}b_{j}=0$ [/mm] schreiben und
b) als [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,n\}: b_{i}b_{i}=1$.
[/mm]
Analog dazu gibt es Funktionenräume, die auch (mindestens) eine Basis haben und man kann Funktionen durch Linearkombinationen dieser Basisfunktionen annähern (einfaches Beispiel: Ausgleichsgerade: Basis z.B. [mm] $\{x \mapsto 1, x \mapsto x\}$. [/mm] Möchte man eine Orthonormalbasis haben, muss man Analogien zu dem oben in a) und b) verwendeten Vektorprodukt finden.
Als geeignet hat sich das Integral über den Bereich, über den man die Linearkombinationen bilden möchte, erwiesen.
Nehmen wir der Einfachheit halber die eben erwähnte Ausgleichsgerade und als Bereich das Intervall $[ 0, 1 ]$. Eine kurze Überprüfung ergibt, dass die Basis [mm] $\{1,x\}$ [/mm] weder ortho- noch normal ist:
[mm] $\integral_{0}^{1}{1^{2}}=1$; [/mm] so weit, so gut. Aber [mm] $\integral_{0}^{1}{x^{2}}=\bruch{1}{3}\not=1$, [/mm] also Normalitätsbedingung verletzt und [mm] $\integral_{0}^{1}{1*x}=\bruch{1}{2}\not=0$, [/mm] also Orthogonalitätsbedingung verletzt.
Du könntest, wenn Du Lust hast, Basisfunktionen [mm] $\{a_{0}*1, b_{0}+b_{1}x\}$ [/mm] suchen, mit [mm] $\integral_{0}^{1}{f_{i}*f_{j}}=\begin{cases} 0,& \mbox{für} i\not=j \\ 1,& \mbox{für}i=j\end{cases}$.
[/mm]
In Deiner Aufgabe hattest Du es also fast mit einer Orthonormalbasis von Funktionen auf dem Intervall $[ [mm] -\pi, \pi [/mm] ]$ zu tun (wie müßtest Du sie normieren?).
Bei weiteren Rückfragen: melden. Bücher oder Online-Enzyklopädieen kannst Du in dem Zusammenhang auch noch auf Legendre- oder Tschebyscheff- (engl.: Chebyshev) Polynome durchforsten.
Viel Spaß beim Stöbern,
Peter
P.S.: vermutlich hattest Du das Mathematica-Notebook nicht mit einem frisch gestarteten Kernel ausgeführt (?).
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