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| Aufgabe | Bestimme die Stammfkt von
x-> [mm] \bruch{sin(x)}{1-cos(x)} [/mm] |
Hallo!
also ich hab die Fkt erst einmal mit 1+cos erweitert
=> [mm] \bruch{sin + sincos}{1-cos^2} [/mm] = [mm] \bruch{sin + sincos}{sin^2}
[/mm]
dann habe ich den bruch aufgeteilt:
=> [mm] \bruch{sin}{sin^2}+\bruch{sincos}{sin^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{sin}+\bruch{cos}{sin}
[/mm]
der zweite Teil integriert ergibt ja ln{sin}
aber wie integrier ich [mm] \bruch{1}{sin}?
[/mm]
vielen Dank schon mal für die Hilfe
lg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mi 21.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider hast du die Klammern im Nenner vergessen, was zu einem Fehler führt.
[mm] \bruch{\sin(x)}{1-\cos(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sin(x)(1-\cos(x))}{\red{(}1-\cos(x)\red{)}^{2}}
[/mm]
Und [mm] \red{(}1-\cos(x)\red{)}^{2}\ne\sin^{2}(x)
[/mm]
Besser wäre hier, mit [mm] 1+\cos(x) [/mm] zu erweitern, dann klappt dein Trick.
Also:
[mm] \bruch{\sin(x)}{1-\cos(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sin(x)(1\red{+}\cos(x))}{(1-\cos(x))(1\red{+}\cos(x))}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sin(x)+\sin(x)\cos(x)}{1-\cos^{2}(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sin(x)+\sin(x)\cos(x)}{\sin^{2}(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sin(x)}{\sin^{2}(x)}+\bruch{\sin(x)\cos(x)}{\sin^{2}(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\sin(x)}+\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\sin(x)}+\cot(x)
[/mm]
Eine Stammfkt. zu [mm] \bruch{1}{\sin(x)} [/mm] ist laut Tabelle (Bei sowas empfiehlt sich der Bronstein, da sind unglaublich viele Integrale drin) [mm] \ln\left(\tan\left(\bruch{x}{2}\right)\right), [/mm] von [mm] \cot(x) [/mm] hast du eine Stammfkt. mit [mm] \ln(\sin(x)) [/mm] korrekt bestimmt.
Marius
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Danke für die Antwort, aber in meiner Angabe hab ich doch mit 1+ cos(x) erweitert;
kann ich denn 1/sin auch berechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 21.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die Antwort, aber in meiner Angabe hab ich doch
> mit 1+ cos(x) erweitert;
Oopss, Sorry. Wer lesen kann....
>
> kann ich denn 1/sin auch berechnen?
Marius
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Hallo chrissi!
Für Dein ursrpüngliches Integral siehe mal hier.
Insbesondere für die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{\sin(x)}$ [/mm] gilt:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{\sin(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{\sin^2(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{1-\cos^2(x)} \ dx}$$
[/mm]
Nun zunächst $z \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo chrissi!
Warum so umständlich? Im Zähler steht die Ableitung des Nenners. Also einfach den Nenner substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mi 21.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
![[hideingbehindcomputer]](/images/smileys/hideingbehindcomputer.gif "[hideingbehindcomputer]")
Das hätte ich auch sehen sollen, wenn nicht gar müssen.
Marius
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