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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Fr 05.03.2010
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Berechne das Integral [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx} [/mm]

Hallo zusammen^^

Ich habe dieses Integral berechnet,unzwar auf zwei verschiedenen Wegen,aber bei beiden kommt was verschiedenes raus und ich finde den Fehler nicht.Kann das bitte jemand nachschauen?

1.Weg: durch die Substitution z=1+sin(x),dann hab ich

[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*z*\bruch{dz}{cos(x)}}=\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}. [/mm]
Durch Rücksubstitution erhalte ich somit [mm] F(x)=0.5*(1+sin(x))^{2.5}. [/mm]

Jetzt kommt der 2.Weg:

Ich löse die Klammern auf,also

[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)+cos(x)*sin(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}+\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}. [/mm]

Dann ist 1. [mm] \integral_{}^{}{cos(x) dx}=sin(x) [/mm]

und 2. [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx} [/mm]
Das löse ich mit partieller Integration,unzwar u'=cos(x) und v=sin(x).Somit ist
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)]-\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx} [/mm]

[mm] 2*\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)] [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=0.5*[sin(x)*sin(x)] [/mm]

Daraus folgt: F(x)=sin(x)+0.5*[sin(x)*sin(x)]

Das ist aber nicht das gleiche wie oben denn hier fehlt mir der Summand 0.5.

Wo liegt der Fehler?

Vielen Dank
lg


        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Fr 05.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Berechne das Integral [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}[/mm]
>  
> Hallo zusammen^^
>  
> Ich habe dieses Integral berechnet,unzwar auf zwei
> verschiedenen Wegen,aber bei beiden kommt was verschiedenes
> raus und ich finde den Fehler nicht.Kann das bitte jemand
> nachschauen?
>  
> 1.Weg: durch die Substitution z=1+sin(x),dann hab ich
>  
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*z*\bruch{dz}{cos(x)}}=\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm]
>  
> Durch Rücksubstitution erhalte ich somit
> [mm]F(x)=0.5*(1+sin(x))^{2.5}.[/mm]
>  
> Jetzt kommt der 2.Weg:
>  
> Ich löse die Klammern auf,also
>  
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)+cos(x)*sin(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x) dx}+\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}.[/mm]
>  
> Dann ist 1. [mm]\integral_{}^{}{cos(x) dx}=sin(x)[/mm]
>  
> und 2. [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}[/mm]
>  Das löse ich mit
> partieller Integration,unzwar u'=cos(x) und v=sin(x).Somit
> ist
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)]-\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}[/mm]
>  
> [mm]2*\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=[sin(x)*sin(x)][/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*sin(x) dx}=0.5*[sin(x)*sin(x)][/mm]
>  
> Daraus folgt: F(x)=sin(x)+0.5*[sin(x)*sin(x)]
>  
> Das ist aber nicht das gleiche wie oben denn hier fehlt mir
> der Summand 0.5.
>  
> Wo liegt der Fehler?

Nirgendwo. Du hast völlig richtig gerechnet, bei beiden Wegen.
Durch deine verschiedenen Integrationswege hast du zwei verschiedene Stammfunktionen von $f(x) = [mm] \cos(x)*(1+\sin(x))$ [/mm] berechnet.

Das ist möglich, denn wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist auch F+c, also F plus eine beliebige Konstante [mm] c\in\IR [/mm] eine Stammfunktion von f.

Deine Stammfunktionen unterscheiden sich jeweils doch nur um eine Konstante, also ist alles in bester Ordnung.
Vergiss nicht: Würdest du jetzt beide ableiten, fällt diese (fehlende oder vorhandene) Konstante sowieso weg.

Grüße,
Stefan

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Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Fr 05.03.2010
Autor: Mandy_90

Ach stimmt ja,ok gut.Vielen Dank nochmal =)

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Fr 05.03.2010
Autor: Tyskie84

Hallo,

[mm] \integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm] [/mm]

>  

Das stimmt doch nicht! Richtig muss es [mm] 0,5z^2 [/mm] heissen. Dementsprechend [mm] 0,5(1+sin(x))^{2} [/mm]

Ansonsten sind beide Lösungswege richtig wie schon geschrieben.

Und jetzt ist: [mm] 0,5*(1+sin(x))^{2}=0,5*(1+2sin(x)+sin^2(x))=0,5+sin(x)+0,5sin^2(x)=sin(x)+0,5(sin(x)*sin(x)) [/mm]



Bezug
                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Fr 05.03.2010
Autor: Mandy_90


> Hallo,
>  
> [mm]\integral_{}^{}{z dz}=0.5z^{2.5}.[/mm][/mm]
>  >  
>
> Das stimmt doch nicht! Richtig muss es [mm]0,5z^2[/mm] heissen.
> Dementsprechend [mm]0,5(1+sin(x))^{2}[/mm]
>  
> Ansonsten sind beide Lösungswege richtig wie schon
> geschrieben.
>  
> Und jetzt ist:
> [mm]0,5*(1+sin(x))^{2}=0,5*(1+2sin(x)+sin^2(x))=0,5+sin(x)+0,5sin^2(x)=sin(x)+0,5(sin(x)*sin(x))[/mm]
>  
>  

Ja da hast du recht,das war aber nur ein Tippfehler =)

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Fr 05.03.2010
Autor: mathemak


> Berechne das Integral [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*(1+sin(x)) dx}[/mm]

Tipp:

[mm]\integral_{}^{}{\cos(x)*(1+\sin(x)) \mathrm{d}\,x} = \integral_{}^{} (\cos(x) + \cos(x)\sin(x) ) \mathrm{d}\,x = \integral_{}^{} (\cos(x) + \frac 12\,\sin(2\,x)) \mathrm{d}\,x [/mm]

Und die partielle Integration entfällt ersatzlos.

Gruß

mathemak

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