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Integral: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Mi 22.06.2005
Autor: simone1000

Guten Morgen!
Weiß nicht ob die Aufgabe so gelöst wird. Kann mir jemand helfen?

Gegeben ist die Beschleunigung eines Massenpunktes [mm] a=\bruch{1}{2}\wurzel{t}+\sin\omega*t [/mm] .Gesucht ist die Geschw. und der Weg.
[mm] \bruch{ds}{dt}=v\integral{ds}=\integral{vdt} [/mm]
s=vt
[mm] \bruch{dv}{dt}=a [/mm]
dv=adt
[mm] v=\integral{a dt} [/mm]
Meine Antwort:
[mm] v=\integral{(\bruch{1}{2}\wurzel{t}+ sin \omega t) dt} [/mm]
[mm] v=\bruch{1}{3}t^{1,5}+c- cos\bruch{1}{2}\omega t^2+c [/mm]
dann
v einsetzen in s=v*t  ??????????????????
Geht das so? Hab ich einen Fehler gemacht?
Gruß Simone

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral: Korrekturen + Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Mi 22.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Simone!


> Gegeben ist die Beschleunigung eines Massenpunktes
> [mm]a=\bruch{1}{2}\wurzel{t}+sin[/mm] omega t.Gesucht ist die
> Geschw. und der Weg.
> [mm]\bruch{ds}{dt}=v[/mm]
> [mm]\integral{ds}=\integral{vdt}[/mm]

[ok] Das müssen wir nachher verwenden, nachdem wir die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ ermittelt haben ...


>  s=vt

[notok] Diese Auflsöung gilt ja nur für konstante Geschwindkeiten.

Wir werden weiter unten aber feststellen, daß wir immer unterschiedliche Geschwindigkeiten [mm] $v_0$ [/mm] zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] haben werden.



>  [mm]\bruch{dv}{dt}=a[/mm]
>  dv=adt
>  [mm]v=\integral{a dt}[/mm]
>  Meine Antwort:
>  [mm]v=\integral{(\bruch{1}{2}\wurzel{t}+ sin omega t) dt}[/mm]

[ok] Dieser Ansatz stimmt.

Ich schreibe das mal deutlicher auf:   [mm]v(t) \ = \ \integral{\left[\bruch{1}{2}\wurzel{t}+ \sin\left(\omega*t\right)\right] \ dt}[/mm]

  

> [mm]v=\bruch{1}{3}t^{1,5}+c- cos\bruch{1}{2}omega t^2+c[/mm]

[notok] Hier ist etwas beim Integrieren schief gelaufen.

Der erste Term ist richtig.

Aber der Term [mm] $\omega*t$ [/mm] ist ja "nur" das Argument des Kosinus und braucht daher nicht für sich nochmal integriert werden.

Zudem ist hier nur eine Integrationskonstante erforderlich.


Ich erhalte also (bitte nachrechnen):

[mm]v(t) \ = \ \bruch{1}{3}*t^{1,5}-\bruch{1}{\omega}*\cos\left(\omega*t\right)\right] \ + c[/mm]


Um nun nochmal integrieren, um die Wegfunktion $s(t) \ = \ [mm] \integral{v(t) \ dt} [/mm] \ = \ ...$ zu erhalten (siehe oben!).


Was erhältst Du?

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Integral: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mi 22.06.2005
Autor: simone1000

Hallo Roadrunner.
Stimmt das dann?
[mm] s=\bruch{2}{15}*t^{2,5}+\bruch{1}{\omega}*sin({\omega}*t)+c [/mm]

Gruß Simone


Bezug
                        
Bezug
Integral: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mi 22.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Simone!


[notok] Das ist leider noch nicht richtig!


Wir wollen doch folgendes Integral berechnen:

$s(t) \ = \ [mm] \integral{\left[\bruch{1}{3}*t^{1,5}-\bruch{1}{\omega}*\cos\left({\omega}*t\right)+c_1\right] \ dt}$ [/mm]


Den ersten Term hast Du Du richtig integriert.

Wie lautet denn die Stammfunktion zu [mm] $\red{-} \cos(x)$ [/mm] ??


Dann mußt Du noch berücksichtigen, daß hier ein konstanter Faktor [mm] $\omega$ [/mm] im Argument steht: Du mußt beim Integrieren also noch durch diesen Faktor teilen (ohne den bisherigen Faktor [mm] $\bruch{1}{\omega}$ [/mm] zu vergessen!).
Das ist also quasi die MBKettenregel rückwärts. Formell wird hier mit Substitution integriert.


Letztendlich hast Du auch noch den Integralanteil von [mm] $c_1$ [/mm] unterschlagen. Diesen mußt Du auch nach t integrieren und erhältst [mm] $c_1*t$. [/mm]


Dann kommt wiederum eine Integrationskonstante [mm] $c_2$ [/mm] durch den weiteren Integrationsvorgang hinzu!


Möchtest Du es nun noch einmal probieren?

Klar! Wie lautet Deine Lösung?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Integral: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mi 22.06.2005
Autor: simone1000

Hallo Roadrunner!
Mann ist das kompliziert.
Also ich versuchs nochmal. Integrale sind nicht meine Stärke.

s= [mm] \bruch{2}{15}*t^{2,5}+\bruch{1}{\omega^2}*sin (\omega*t)+c_1*t+c_2 [/mm]
Stimmt das jetzt oder hab ich wieder einen Fehler gemacht?
Übrigens vielen Dank für deine Hilfe. Alleine wär nur Mist rausgekommen.
Gruß Simone

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Fast: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Mi 22.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Simone!



> s= [mm]\bruch{2}{15}*t^{2,5}+\bruch{1}{\omega^2}*sin (\omega*t)+c_1*t+c_2[/mm]

Fast richtig! Es hat sich noch ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]s(t) \ = \ \bruch{2}{15}*t^{2,5} \ \red{-} \ \bruch{1}{\omega^2}*\sin (\omega*t)+c_1*t+c_2[/mm]


Und, [lichtaufgegangen] ??

Nun klar(er) ??


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Mi 22.06.2005
Autor: simone1000

Hallo Roadrunner!
Hatte einen Denkfehler beim integrieren von -cos(x).
Dachte das wird + sin.
Wird ja - sin.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüsse Simone

Bezug
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