Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] [mm] \frac{1}{\wurzel{2 \pi h}} \wurzel[4]{\frac{2}{ \pi}} \wurzel{\frac{s}{h}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i p x/h} e^{\frac{-i p^2 t}{2 m h}} e^{- \frac{s^2}{h^2} (p-p0)^2}\, [/mm] dp |
Hey Leute!
Ich hab komm da gerade irgenwie nicht weiter - ich hoffe jemand kann mir vielleicht weiterhelfen :)
also ich hab erst mal auf ein vollständiges Quadrat erweitert - damit wird die Exponentialfunktion zu:
[mm] [mm] e^{-\frac{s^2}{h^2} (p-p0)^2 +(i \wurtzel{ \frac{i t}{2 m h}} p - \frac{1}{2} \wurzel{\frac{2m}{t}} \wurzel{\frac{i}{h}} x)^2 - \frac{1}{2} \frac{m}{t} \frac{i}{h} x^2}
[/mm]
also noch zwei Terme die von p abhängen.
Irgenwie muss ich das jetzt mit Gaussintegralen lösen - aber ich weiß nicht genau wie ich das anfangen soll - kann mir jemand möglicherweise einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
DasBaerchen
|
|
| |
|
Hallo DasBaerchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie:
> [mm][mm]\frac{1}{\wurzel{2 \pi h}} \wurzel[4]{\frac{2}{ \pi}} \wurzel{\frac{s}{h}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i p x/h} e^{\frac{-i p^2 t}{2 m h}} e^{- \frac{s^2}{h^2} (p-p0)^2}\,[/mm] dp
Hey Leute!
Ich hab komm da gerade irgenwie nicht weiter - ich hoffe jemand kann mir vielleicht weiterhelfen :)
also ich hab erst mal auf ein vollständiges Quadrat erweitert - damit wird die Exponentialfunktion zu:
[mm][mm]e^{-\frac{s^2}{h^2} (p-p0)^2 +(i \wurtzel{ \frac{i t}{2 m h}} p - \frac{1}{2} \wurzel{\frac{2m}{t}} \wurzel{\frac{i}{h}} x)^2 - \frac{1}{2} \frac{m}{t} \frac{i}{h} x^2}[/mm]
> [/mm][/mm]
Schreibe das jetzt in der Form [mm]e^{\alpha*p^{2}+\beta*p+\gamma}[/mm]
Dann kannst Du für den Exponenten quadratische Ergänzung anwenden
und durch eine oder mehrere Substitutionen auf Gaussintegrale zurückführen.
> [mm][mm]also noch zwei Terme die von p abhängen.[/mm][/mm]
> [mm][mm] Irgenwie muss ich das jetzt mit Gaussintegralen lösen - aber ich weiß nicht genau wie ich das anfangen soll - kann mir jemand möglicherweise einen Tipp geben?[/mm][/mm]
> [mm][mm] Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Liebe Grüße[/mm][/mm]
> [mm][mm] DasBaerchen [/mm][/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Erst mal danke für die schnelle Antwort!
und zur quadratischen Ergänzung - ich dachte das hätte ich schon getan :)
mein Integral hat jetzt die Form
[mm]Konstante [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-a(p-p0)^2 + ( b p + c)^2 } dp}
[/mm]
meine Frage wäre jetzt: gibt es da irgendetwas wie eine Formel oder muss ich das partiell integrieren?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
hmmm... hab das mit den Symbolen noch nicht ganz drauf - das obige sollte eine Frage sein - ich weiß nur nicht wie ich den Status ändere...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
sowas tippt man mit vereinfachten Konstanten in wolfram alpha ein
dann kriegst du \intergral{e^{-(ax+b)^2}=\wurzel{\pi}/2a*erf(ax-b)
erf ist die sog errorfunktion und bei unendlich 0.5 bei -\unendlich -0.5
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
und wie kann man vorgehen wenn man das von hand ausrechnen will?
oder ist das zu aufwändig?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie rechnest du [mm] e^x [/mm] "per Hand" aus? Kannst du nicht, bzw nur weil dein TR zufällig die e- fkt einprogrammiert hat!
man muss eben wissen, dass man beim Integrieren von [mm] e^{-ax^2} [/mm] immer auf die erf stößt, und da die die statistiker viel brauchen, ist sie auch schon vertafelt, wenn auch nicht grade in deinem TR. die Formel die ich dir anegeben habe gehört halt zum Werkzeug.
was du per hand kannst ist so zu substituieren, dass nur das integral über [mm] e^{-u^2} [/mm] bleibt .
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
|
