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Forum "Differenzialrechnung" - Integral
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Integral: Wieso dieses Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Do 10.05.2012
Autor: matheonline

Aufgabe
- [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] =

= [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{-ik*\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{ik*\pi} [/mm]

Hallo,
das ist ein bisschen triviale Frage, aber ich komme nicht drauf wieso bekommt man aus:
- [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] =
das:
= [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{-ik*\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{ik*\pi} [/mm]
Und zwar mit ist es klar, dass pi und -pi eingesetzt werden, das was ich nicht verstehe ist wieso kommt aus dem Integral [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] raus.. nach welcher Formel kommt das? Ich kenne die allg. formel Integral von [mm] ne^{kx} [/mm] ist [mm] e^{nx}, [/mm] aber in der aufgabe ist unsere n = -ik und nicht [mm] \bruch{1}{-ik}.. [/mm]  Kann mir jemand helfen?
Grüße

        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:38 Do 10.05.2012
Autor: matheonline

ich meinte die allg. formel ist Integral von  [mm] ne^{nx} [/mm] = [mm] e^{nx} [/mm] .. k war da falsch

Bezug
        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Do 10.05.2012
Autor: chrisno

Du bist da auf einen falschen Weg geraten. Es kommt nicht [mm] $\bruch{1}{k^2}$ [/mm] heraus.

Nimm [mm] $\bruch{1}{a}e^ax$. [/mm] Leite es ab. Du erhältst $e^ax$. Nichts anderes ist hier passiert. Nur heißt das a hier -1k.



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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Do 10.05.2012
Autor: matheonline

Hallo,
danke für die Antwort. Sie haben schon recht, dass abgeleitet der Ansatz stimmt, nur ich leite nicht ab, sondern integriere.. Und ich dachte dann gilt die Formel Integral von [mm] ae^{ax} [/mm] = [mm] e^{ax} [/mm] Verstehe nicht was ich mit der Ableitung anfangen soll..
Und ich habe Integral von [mm] \bruch{1}{a} e^{ax} [/mm] ...
Die Lösung stammt von dem Übungsleiter an der Uni und die ganze weitere Lösung basiert darauf... Krasse Sache


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Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 10.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  danke für die Antwort. Sie haben schon recht, dass
> abgeleitet der Ansatz stimmt, nur ich leite nicht ab,
> sondern integriere.. Und ich dachte dann gilt die Formel
> Integral von [mm]ae^{ax}[/mm] = [mm]e^{ax}[/mm] Verstehe nicht was ich mit
> der Ableitung anfangen soll..
> Und ich habe Integral von [mm]\bruch{1}{a} e^{ax}[/mm] ...
>  Die Lösung stammt von dem Übungsleiter an der Uni und
> die ganze weitere Lösung basiert darauf... Krasse Sache

stimmt doch alles:
- $ [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] $ =

= $ [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] $ * $ [mm] e^{-ik\cdot{}\pi} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] $ * $ [mm] e^{ik\cdot{}\pi} [/mm] $

Ich duze übrigens immer:
Also beachte:
[mm] $$\int \frac{1}{t}e^{tx}dx=\frac{1}{t^2}e^{tx}\;\;(+\text{const. (Funktion)})$$ [/mm]

Das erhältst Du beispielsweise per Substitution
$$y=tx [mm] \Rightarrow [/mm] dy=tdx [mm] \Rightarrow \int \frac{1}{t}e^{tx}dx=\frac{1}{t}\int e^{tx}\frac{tdx}{t}=\frac{1}{t^2}\int e^ydy=\frac{1}{t^2}e^y=\frac{1}{t^2}e^{tx}\,,$$ [/mm]
oder aber, indem Du einfach mal $x [mm] \mapsto \frac{1}{t^2}e^{tx}$ [/mm] nach [mm] $x\,$ [/mm] unter Einbeziehung der Kettenregel ableitest.

Bei Dir ist halt [mm] $t=-ik\,,$ [/mm] der Rest ist einfach der HDI und Anwendung von Rechenregeln wie "Minus mal Minus macht Plus, integrieren ist linear und [mm] $i^2=-1$...". [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:04 Fr 11.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx}[/mm] =
>  
> = [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] * [mm]e^{-ik*\pi}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] *
> [mm]e^{ik*\pi}[/mm]
>  Hallo,
>  das ist ein bisschen triviale Frage, aber ich komme nicht
> drauf wieso bekommt man aus:
>  - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx}[/mm] =
>  das:
>  = [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] * [mm]e^{-ik*\pi}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] *
> [mm]e^{ik*\pi}[/mm]
>  Und zwar mit ist es klar, dass pi und -pi eingesetzt
> werden, das was ich nicht verstehe ist wieso kommt aus dem
> Integral [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] raus.. nach welcher Formel kommt
> das? Ich kenne die allg. formel Integral von [mm]ne^{kx}[/mm] ist
> [mm]e^{nx},[/mm] aber in der aufgabe ist unsere n = -ik und nicht
> [mm]\bruch{1}{-ik}..[/mm]  Kann mir jemand helfen?
>  Grüße

ich schreib's der Deutlichkeit halber hier vielleicht auch nochmal hin:
Natürlich gilt (ich erspare mir nun konstante Funktionen)
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\int ae^{ax}dx=e^{ax}\,,$$ [/mm]
aber hier wollen wir ja [mm] $\int \frac{1}{a}e^{ax}dx$ [/mm] berechnen.

Die Vorkenntnis aus [mm] $(\*)$ [/mm] kann man dazu auch benutzen (wenn man nicht das ganze wieder mit Subst. rechnen will):
$$ [mm] \blue{\int \frac{1}{a}e^{ax}dx=\int \frac{a}{a^2}e^{ax}dx=\frac{1}{a^2}\int ae^{ax}dx\stackrel{(\*)}{=}\frac{1}{a^2}e^{ax}}\,,$$ [/mm]
wobei natürlich [mm] $a\,$ [/mm] als eine (von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängige) Konstante angenommen wird.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Integral: Super Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Fr 11.05.2012
Autor: matheonline

Hi Marcel,
Jetzt ist alles klar :) Danke für die tolle Antworten!
Grüße

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