Integral - Fläche bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mo 01.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | | Bestimme die Fläche A zwischen der Kurve [mm] y^{2} [/mm] = [mm] \bruch {x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] und ihrer Asymptoten! |
So zuerst einmal: Was sind die Asymptoten eigentlich? Ich habe mir zwar wikipedia reingezogen, aber ganz schlau bin ich nicht draus geworden!
Weiters muss ich hier glaub ich die Umkehrfunktion von der Funktion machen, habe diese probiert, komme aber nicht wirklich weiter! :-(
Bitte um eure Hilfe!
Viele Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mo 01.06.2009 | | Autor: | tedd |
Schau dir die Definitionslücken für
$ [mm] \bruch {x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] $, dort verläuft auch die senkrechte Asymptote weshalb du es hier mit einem uneigentlichen Integral zu tun hast.
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> Bestimme die Fläche A zwischen der Kurve [mm]y^{2}[/mm] = [mm]\bruch {x^{2}}{1-x^{2}}[/mm]
> und ihrer Asymptoten!
> So zuerst einmal: Was sind die Asymptoten eigentlich? Ich
> habe mir zwar wikipedia reingezogen, aber ganz schlau bin
> ich nicht draus geworden!
>
> Weiters muss ich hier glaub ich die Umkehrfunktion von der
> Funktion machen, habe diese probiert, komme aber nicht
> wirklich weiter! :-(
>
> Bitte um eure Hilfe!
>
> Vielen Dank!
Um die Aufgabe zu verstehen, ist zuerst eine
Kurvenuntersuchung notwendig.
Welche Zahlenwerte kommen für x überhaupt
in Frage ?
Wie lautet(n) die Gleichung(en) der Kurve,
wenn man sie in Funktionsgraphen aufteilt ?
Wie verhalten sich diese Teilfunktionen am
Rand ihres Definitionsbereiches ?
Es wird dann klar, dass die Kurve, die etwa so
wie ein Bastard aus einem "H" und einem "X"
aussieht, zwei vertikale Asymptoten hat und
dass man nach dem Flächeninhalt des Gebietes
zwischen der Kurve und ihren beiden Asymptoten
fragen kann.
Die Kurvengleichung nach x aufzulösen
(Umkehrfunktion) ist zwar recht gut möglich,
aber vermutlich nicht notwendig !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ich habe jetzt einmal folgenden Lösungansatz (aber mit Hilfe) und hätte dazu folgende Fragen:
Den Nenner Null setzen, damit ich auf die Schnittpunkte (Nullstellen) komme:
0 = [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] ²
0 = 1 - [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = 1
x = + / - 1
Meine Frage dazu: Warum setze ich nur den Nenner gleich Null um auf die Nullstellen zu kommen? Und nicht die ganze Funktion?
Dann weiter mit dem Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}
[/mm]
u = 1 - [mm] x^{2}
[/mm]
-2x dx = du
dx = [mm] \bruch{du}{-2x}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{\wurzel{u}} \bruch{du}{-2x}}
[/mm]
dann kann ich x wegkürzen
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{u}} \bruch{du}{-2}}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} {\integral_{0}^{1}{u^{-\bruch{1}{2}}}}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} {\integral_{0}^{1}{\bruch{u^{\bruch{-1}{2}}+{\bruch{2}{2}}}{{\bruch{-1}{2}+\bruch{2}{2}}}}}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{2}{1}\integral_{0}^{1}{{(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}}}
[/mm]
- [mm] {(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}} [/mm]
Dann die Werte 0 und 1 einsetzen, dann kommt eine Fläche von 1 heraus und das mal 2, weil es ja 2 identische Flächen (links und rechts sind).
Ist das der richtige Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> Den Nenner Null setzen, damit ich auf die Schnittpunkte
> (Nullstellen) komme:
Das sind keine Schnittstellen (womit auch?).
> 0 = [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] ²
> 0 = 1 - [mm]x^{2}[/mm]
> [mm]x^{2}[/mm] = 1
> x = + / - 1
>
> Meine Frage dazu: Warum setze ich nur den Nenner gleich
> Null um auf die Nullstellen zu kommen? Und nicht die ganze
> Funktion?
Weil die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken und damit mögliche Werte für vertikale Asymptoten angeben.
> Dann weiter mit dem Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> u = 1 - [mm]x^{2}[/mm]
> -2x dx = du
> dx = [mm]\bruch{du}{-2x}[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{\wurzel{u}} \bruch{du}{-2x}}[/mm]
>
> dann kann ich x wegkürzen
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{u}} \bruch{du}{-2}}[/mm]
Beim substituierten Integral müssen die Grenzen von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 0$ verlaufen.
> - [mm]\bruch{1}{2} {\integral_{0}^{1}{u^{-\bruch{1}{2}}}}[/mm]
>
> - [mm]\bruch{1}{2} {\integral_{0}^{1}{\bruch{u^{\bruch{-1}{2}}+{\bruch{2}{2}}}{{\bruch{-1}{2}+\bruch{2}{2}}}}}[/mm]
>
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{2}{1}\integral_{0}^{1}{{(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}}}[/mm]
>
>
> - [mm]{(1-x^{2})^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> Dann die Werte 0 und 1 einsetzen, dann kommt eine Fläche
> von 1 heraus und das mal 2, weil es ja 2 identische Flächen
> (links und rechts sind).
>
> Ist das der richtige Weg?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich hätte hier allerdings das Integral erst unbestimmt (ohne Grenzen) ermittelt, da ich dann die Problematik der uneigentlichen Integrale umgehe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ist das immer so, dass die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken angeben??
Zitat: "Ich hätte hier allerdings das Integral erst unbestimmt (ohne Grenzen) ermittelt, da ich dann die Problematik der uneigentlichen Integrale umgehe. "
Wie meinst du das mit diesem Satz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> Ist das immer so, dass die Nullstellen des Nenners die
> Definitionslücken angeben??
Natürlich. Wenn der Nenner Null wird, würde durch Null geteilt werden, was bekanntlich nicht zulässig ist.
> Zitat: "Ich hätte hier allerdings das Integral erst
> unbestimmt (ohne Grenzen) ermittelt, da ich dann die
> Problematik der uneigentlichen Integrale umgehe. "
Bei dem Integral [mm] $\integral_1^0{\bruch{1}{\wurzel{u}} \ du}$ [/mm] liegt eine Integrationsgrenze vor, welche Definitionslücke des Integranden ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ok, jetzt ist mir das klarer mit der Nullstelle! DAnke! Das habe ich nicht bedacht! 
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Hallo,
ich vermute, du hast dich vertippt und meinst die Funktion
[mm] y=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] und nicht [mm]y^2=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}}[/mm]. Letztere ist nämlich bzgl. ihrer Asymptoten uninteressant, weil sie nur im Bereich -1<x<1 definiert ist.
Du hattest noch nach der Bedeutung einer Asymptote gefragt:
Wenn du für x immer größere Werte einsetzt, stellst du fest, dass sich deine Funktionswerte immer näher an eine Zahl annähern, nämlich der -1. Wenn du jetzt den Funktionsgraphen zu y=-1 einzeichnest, bezeichnest du diesen als Asymptote.
Ganzrationale Funktionen "hauen immer ab", wenn x [mm] \to \pm \infty [/mm] geht. Das ist bei deinem Beispiel anders. Dein Funktionsgraph "schmiegt sich immer näher" an diese Gerade parallel zur x-Achse dran.
Es gibt auch Funktionen, die sich nicht einer Geraden annähern, sondern die sich an irgendeine "krumme" Linie anschmiegen - diese Linien nennt man dann meistens schiefe Asymptoten.
Was die konkrete Integration angeht, hast du den Lösungsweg ja schon genannt bekommen... Im Grunde brauchst du die Grenzen deiner Integration und die Formel für die Asymptote (y=-1) und integrierst über die Differenz von Asymptote und Funktion.
Gruß,
weightgainer
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Hallo weightgainer !
> ich vermute, du hast dich vertippt und meinst die Funktion
> [mm]y=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}}[/mm] und nicht [mm]y^2=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}}[/mm].
ob das wirklich ein Tippfehler war, muss natürlich andi sagen ...
> Letztere ist nämlich bzgl. ihrer Asymptoten uninteressant,
> weil sie nur im Bereich -1<x<1 definiert ist.
Das finde ich nun gerade nicht, denn vertikale Asymptoten
verdienen ihren Namen "Asymptoten" ebensogut wie jede
schräge oder horizontale Asymptote.
Gruß Al
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Für mich gibt es auch genau diese drei Arten von Asymptoten - senkrecht, waagrecht, schief (ich hatte ja auch zwischen den letzten beiden nicht "sauber" unterschieden). Ich habe allerdings auch schon Definitionen gefunden, in denen es beim senkrechten Fall sehr feine Unterscheidungen gab, die ich persönlich nicht sinnvoll finde.
Wie auch immer - in diesem konkreten Fall macht die Aufgabe mit den beiden Funktionen [mm] y^2=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}} [/mm] und der Fläche zwischen ihnen und ihren Asymptoten auf jeden Fall genauso viel Sinn wie meine Interpretation. Nein, eigentlich ist es so sogar noch etwas schöner vom rein ästhetischen Standpunkt aus .
Gruß,
weightgainer
p.s. Ergänzender Kommentar zu den senkrechten Asymptoten:
Bei Definitionslücken oder am Rand des Definitionsbereichs kann es eben auch passieren, dass die Funktion "abhaut". Wenn du z.B. für [mm]f(x)=\bruch{1}{x-1}[/mm] bei x=1 eine senkrechte Linie zeichnest, wird dein Funktionsgraph da immer näher dran kommen. Also im Prinzip wie bei den anderen Asymptoten auch, immer näher dran, aber nie ganz drauf.
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> Wie auch immer - in diesem konkreten Fall macht die
> Aufgabe mit den beiden Funktionen [mm]y^2=\bruch {x^{2}}{1-x^{2}}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Zwei Funktionen hast du hier erst dann, wenn du sie
wirklich separierst, also z.B.:
$\ [mm] y_1(x)=\bruch{x}{\sqrt{1-x^2}}$
[/mm]
$\ [mm] y_2(x)=\bruch{-\,x}{\sqrt{1-x^2}}$
[/mm]
> ...... Also im Prinzip wie bei den
> anderen Asymptoten auch, immer näher dran,
> aber nie ganz drauf.
Das "nie ganz drauf" gehört nicht zur Definition
der Asymptote. Beispiele: Der Graph der Funktion
f: [mm] x\mapsto e^{-x}*sin(x) [/mm] schneidet seine Asymptote [mm] \infty [/mm] oft,
und eine Gerade ist sogar identisch mit ihrer Asymptote -
nur ist dann die Rede von der Asymptote nicht mehr so
furchtbar spannend.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Die Funktion sollte schon lauten:
[mm] y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{1-x^{2}}
[/mm]
oder natürlich umgeschrieben
y = [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
Ganz habe ich das mit den Asymptoten noch nicht verstanden, nur soviel, sie nähern sich irgendwie an die Funktion an, oder?
Aber so richtig, naja! :-(
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> Die Funktion sollte schon lauten:
>
> [mm]y^{2}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{1-x^{2}}[/mm]
>
> oder natürlich umgeschrieben
>
> y = [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm]
Hallo,
nein, diese "Umschreibung" stimmt nicht.
Wenn Du Dir das umschreiben willst, bekommst Du zwei Funktionen: [mm] y_1=\wurzel{\bruch{x^{2}}{1-x^{2}}} [/mm] und [mm] y_2=-\wurzel{\bruch{x^{2}}{1-x^{2}}}.
[/mm]
Daß die beiden Funktionen nur definiert sind für [mm] x\in [/mm] ]-1,1[, sollte klar sein.
Schau Dir unbedingt den Graphen an, es wurde zuvor ja schon gesagt, daß es so eine Art X ist.
Wenn Du das wirklich mal siehst, wirst Du keinen Zweifel mehr daran haben, was zu berechnen ist.
> Ganz habe ich das mit den Asymptoten noch nicht verstanden,
> nur soviel, sie nähern sich irgendwie an die Funktion an,
> oder?
Eher nähern sich die Funktionen den Asymptoten...
Schau Dir den einen Plot v. [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] an: die Asymptoten sind die Geraden [mm] x=\pm [/mm] 1, welche senkrecht auf der y-Achse stehen und durch (-1|0) bzw. (1|0) verlaufen.
Nähert sich die Argumente der Funktion der Stelle der senkrechten Asymptote, so laufen ihre Funktionswerte gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty. [/mm]
Ich habe nun absolut nichts neues beigetragen, hoffe aber trotzdem, Dir etwas weitergeholfenzu haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Hallo,
nein, diese "Umschreibung" stimmt nicht.
Wenn Du Dir das umschreiben willst, bekommst Du zwei Funktionen: [mm] y_1=\wurzel{\bruch{x^{2}}{1-x^{2}}} [/mm] und [mm] y_2=-\wurzel{\bruch{x^{2}}{1-x^{2}}}. [/mm]
Daß die beiden Funktionen nur definiert sind für [mm] x\in [/mm] ]-1,1[, sollte klar sein.
Ok, das ist mir dann klarer, weil ja bei einer Quadratwurzel immer 2 Ergebnisse sind! Und exklusive -1 und 1 ist mir auch klar, weil man ja nicht durch 0 dividieren darf!
Schau Dir unbedingt den Graphen an, es wurde zuvor ja schon gesagt, daß es so eine Art X ist.
Wenn Du das wirklich mal siehst, wirst Du keinen Zweifel mehr daran haben, was zu berechnen ist.
Ich habe mir den Graphen angesehen, es ist halbes geschwungenes X richtig! Aber das mit raussehen? Naja! :-( Ich weiss nicht!
> Ganz habe ich das mit den Asymptoten noch nicht verstanden,
> nur soviel, sie nähern sich irgendwie an die Funktion an,
> oder?
Eher nähern sich die Funktionen den Asymptoten...
Schau Dir den einen Plot v. [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] an: die Asymptoten sind die Geraden [mm] x=\pm [/mm] 1, welche senkrecht auf der y-Achse stehen und durch (-1|0) bzw. (1|0) verlaufen.
Nähert sich die Argumente der Funktion der Stelle der senkrechten Asymptote, so laufen ihre Funktionswerte gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty. [/mm]
Ich habe nun absolut nichts neues beigetragen, hoffe aber trotzdem, Dir etwas weitergeholfenzu haben.
Gruß v. Angela
Danke ein bisschen hast du mir wieder weitergeholfen, ganz klar ist mir die Geschichte aber noch nicht! :-(
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> Schau Dir unbedingt den Graphen an, es wurde zuvor ja schon
> gesagt, daß es so eine Art X ist.
> Wenn Du das wirklich mal siehst, wirst Du keinen Zweifel
> mehr daran haben, was zu berechnen ist.
>
>
> Ich habe mir den Graphen angesehen, es ist halbes
> geschwungenes X richtig!
Hallo,
ein halbes?
Es ist doch ein ganzes!
Die Kurve [mm] y^2=... [/mm] umfaßt doch die Graphen der Funktionen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] und zwar im Bereich von -1 bis +1.
Wolltest Du sonst noch was wissen?
Gruß v. Angela
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Hier mal die Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kurve rot, Asymptoten blau.
Das gesamte Gebiet zwischen der Kurve und ihren
beiden Asymptoten besteht aus vier zueinander
kongruenten Teilen, von denen der im ersten
Quadranten dem (uneigentlichen) Integral
[mm] $\integral_{0}^{1}\bruch{x}{\sqrt{1-x^2}\,}\,dx [/mm] $
entspricht. Der gesamte Flächeninhalt ist also
$\ A\ =\ [mm] 4\integral_{0}^{1}\bruch{x}{\sqrt{1-x^2}\,}\,dx$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Di 02.06.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke, jetzt ist mir bei dieser Aufgabe einiges klarer!
Vielen Dank!
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