Integral 0 bis 2pi mit Residue < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich soll folgendes Integral lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
...und zwar jetzt kommts: Mit dem Residuensatz!
Jetzt habe ich ein problem, da ich nur weiss dass der Residuensatz für
- Geschlossene wege gilt
- Und für Integrale von -unendlich bis unendlich eingesetzt werden kann!
Wie kann ich das jetzt auf 0 bis [mm] 2*\pi [/mm] übertragen?
Danke im Voraus!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo jarjar2008,
> Hallo, ich soll folgendes Integral lösen:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> ...und zwar jetzt kommts: Mit dem Residuensatz!
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> Jetzt habe ich ein problem, da ich nur weiss dass der
> Residuensatz für
> - Geschlossene wege gilt
> - Und für Integrale von -unendlich bis unendlich
> eingesetzt werden kann!
>
> Wie kann ich das jetzt auf 0 bis [mm]2*\pi[/mm] übertragen?
>
Es gilt:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{R\left(\cos\left(\varphi\right),\ \cos\left(\varphi\right) \right)) \ d\varphi}=2\pi * \summe_{w \in E}^{} res_{w} \tilde{R}\left(z\right)[/mm]
,wobei E der Einheitskreis (im komplexen) ist.
mit
[mm]\tilde{R}\left(z\right):=\bruch{1}{z}R\left(\bruch{1}{2}*\left(z+\bruch{1}{z}\right),\ \bruch{1}{2i}*\left(z+\bruch{1}{z}\right) \right)[/mm]
Ersetze hier also [mm]\sin\left(t\right)=\bruch{e^{it}-e^{-it}}{2i}[/mm]
Und setze [mm]z=e^{it} \Rightarrow dz = i * e^{it} \ dt \gdw dz =i*z \ dt \Rightarrow dt = \bruch{dz}{i*z}[/mm]
Dies ergibt dann:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{a+\sin\left(t\right)} \ dt}=\integral_{E}^{}{\bruch{1}{a+\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}} \ \bruch{dz}{i*z}}[/mm]
Nun ist das rechtsstehende Integral mit Hilfe des Residuensatzes auszuwerten.
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> Danke im Voraus!
Gruß
MathePower
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort...
Leider komme ich nicht weiter ... zumindest nicht ohne MATLAB oder MAPLE...
Dieses Integral um den Einheitskreis hat sehr komische Polstellen die da wären:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sowas kann man ja nicht in Klausurgerechter Zeit lösen ... Vielleicht wäre hier doch eher ein anderer Ansatz notwendig, evtl Cauchy?
Aber ich stehe leider trotzdem auf dem Schlauch :(
Bitte hilf mir!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Di 01.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und vielen Dank für deine Antwort...
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> Leider komme ich nicht weiter ... zumindest nicht ohne
> MATLAB oder MAPLE...
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> Dieses Integral um den Einheitskreis hat sehr komische
> Polstellen die da wären:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Sowas kann man ja nicht in Klausurgerechter Zeit lösen ...
Das verstehe ich jetzt nicht, das ist doch ganz einfach: der Integrand ist von der Form
[mm] \bruch{2}{(z-z_1)(z-z_2)}[/mm]
wobei [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] die beiden von dir genannten Polstellen sind. Wenn wir mit [mm] $z_1$ [/mm] diejenige bezeichnen, die im Einheitskreis liegt, dann ist das Residuum an der Stelle [mm] $z_1$:
[/mm]
[mm]\bruch{2}{z_1-z_2} = \bruch{2}{2i\sqrt{a^2-1}} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Es gibt wie gesagt folgende Polstellen:
[mm] -i*a+\sqrt{1-a^2} [/mm] und [mm] -i*a-\sqrt{1-a^2} [/mm]
Leider liegen Sie für a>1 nicht in unserem Einheitskreis, also müsste das Integral verschwinden...Doch leider hat das Integral einen Wert.
Ich bin verwirrt :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 01.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es gibt wie gesagt folgende Polstellen:
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> [mm]-i*a+\sqrt{1-a^2}[/mm] und [mm]-i*a-\sqrt{1-a^2}[/mm]
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>
> Leider liegen Sie für a>1 nicht in unserem Einheitskreis,
Ganz im Gegenteil, für a>1 liegen sie auf der imaginären Achse und diejenige mit dem kleineren Imaginärteil im Inneren des Einheitskreises:
[mm] -ia\pm\sqrt{1-a^2} = -ia \pm i \sqrt{\smash[b]{\underbrace{a^2-1}_{\in\IR}}} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Und das ist eben mein Problem...
Soweit komme ich
[mm] \integral_{E}^{}{\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{z(a-\frac{1}{2} \cdot i \cdot (z - z^{-1}))} dz}
[/mm]
= [mm] \integral_{E}^{}{\frac{1}{za+(z^2-1)*(2i)^{-1}} \frac{dz}{i}}
[/mm]
= [mm] \integral_{E}^{}{\frac{2}{z^2+2*z*a*i - 1} dz}
[/mm]
Leider finde ich einfach keinen Weg die von dir genannte darstellung zu erhalten. Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 02.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Und das ist eben mein Problem...
>
> Soweit komme ich
>
> [mm]\integral_{E}^{}{\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{z(a-\frac{1}{2} \cdot i \cdot (z - z^{-1}))} dz}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{E}^{}{\frac{1}{za+(z^2-1)*(2i)^{-1}} \frac{dz}{i}}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{E}^{}{\frac{2}{z^2+2*z*a*i - 1} dz}[/mm]
> Leider
> finde ich einfach keinen Weg die von dir genannte
> darstellung zu erhalten. Kannst du mir da auf die Sprünge
> helfen?
Ich bin mir nicht sicher, worauf sich deine Frage bezieht.
Du zerlegst den Nenner in Linearfaktoren, indem du die Nullstellen bestimmst. Das hast du doch gestern schon gemacht.
Viele Grüße
Rainer
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Hey Rainer,
Ja Gestern habe ich die Nullstellen mit MAPLE bestimmt, würde es aber sehr gerne alleine Schaffen ... nur wie gesagt weiss ich nicht wie ich mit der letzten Gleichung weiter verfahren soll ...
Ich hoffe du kannst mir helfen dass ich das endlich komplett verstehe, wahrscheinlich fehlen mir ein paar Rechenregeln!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 03.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey Rainer,
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> Ja Gestern habe ich die Nullstellen mit MAPLE bestimmt,
> würde es aber sehr gerne alleine Schaffen ... nur wie
> gesagt weiss ich nicht wie ich mit der letzten Gleichung
> weiter verfahren soll ...
Der Nenner ist eine quadratisches Polynom, also bekomsmt du die Nullstellen als Lösung der quadratischen Gleichung
[mm] z^2+2\cdot{}z\cdot{}a\cdot{}i - 1 =0[/mm]
Die kannst du mit der pq-Formel oder per quadratischer Ergäzung bestimmen:
[mm] z^2 +2aiz-1 = z^2 +2aiz-a^2+a^2-1= (z+ai)^2 +(a^2-1) [/mm]
Da $a>1 $ ist, ist
[mm] z_{1,2} = -ai \pm i\sqrt{a^2-1} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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