Integral 1 bis x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Fr 22.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] |
Hallo,
ich möchte obiges Integral berechnen. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] = [mm] [ln|t|]^{x}_{1} [/mm] = ln|x| - ln|1| = ln|x|
Ist das so richtig? Ist auch die schreibweise richtig? Also kann ich das so bei der Prüfung/Übung hinschreiben?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hi piriyaie,
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obiges Integral berechnen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] = [mm][ln|t|]^{x}_{1}[/mm] = ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ln|x| - ln|1| = ln|x|
>
> Ist das so richtig? Ist auch die schreibweise richtig? Also
> kann ich das so bei der Prüfung/Übung hinschreiben?
Jo, sieht gut aus!
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Sa 23.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte obiges Integral berechnen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] = [mm][ln|t|]^{x}_{1}[/mm] =
> ln|x| - ln|1| = ln|x|
>
> Ist das so richtig? Ist auch die schreibweise richtig? Also
> kann ich das so bei der Prüfung/Übung hinschreiben?
Hallo Ali,
sicherheitshalber solltest Du angeben, daß das Integral nur für $x>0$ definiert ist und die Betragsstriche weglassen. Diese suggerieren nämlich, daß Deine Lösung auch für negative $x$ gilt, was ja nicht der Fall ist.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 24.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Aber wir haben im Skript eine Tabelle von Stammfunktionen und da steht:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] = ln|x|
Demnach habe ich es genauso hingeschrieben. Dass in dieser Aufgabe es nur für x [mm] \not= [/mm] 0 gilt bzw t [mm] \not= [/mm] 0 gilt muss ich glaub ich ja ned hinschreiben da, dass integral sowieso von 1 bis x geht und in diesem fall sogar gilt: x > 1. Oder????
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Hallo Ali,
falsch sind die Betragszeichen ja nicht. Wenn man weiß, dass x positiv ist, dann lässt man sie weg, da sie nichts bewirken. Und genau das weißt du aus zwei Gründen:
- Definitiv darf man bei einem Riemamm-Integral nicht über eine Polstelle weg integrieren, dazu bräuchte es eine Erweiterung des Integrals wie den Cauchy'schen Hauptwert, auf den FRED hingewiesen hat. Aber das muss dann schon explizit aus der Aufgabenstellung hervorgehen, wenn so etwas gemeint ist, das ist hier ja nicht der Fall.
- Weniger zwingend wäre noch das Argument, dass man für gewöhnlich die größere Schranke als obere Schranke wählt (obwohl dies nicht zwingend ist), dann wäre hier sogar [mm] x\ge{1}.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 23.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung zu Wolfgangs Antwort:
Man kann $ [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] $ durchaus für x<0 betrachten. Dieses uneigentliche Integral ist divergent, denn es ist für x<0:
$ [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] $= - $ [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] $
und $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] $ divergiert.
Fasst man allerdings $ [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] $ als Cauchyschen Hauptwert auf, so benötigt man Beträge:
CH- $ [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] =ln(|x|) $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 So 24.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Eine Bemerkung zu Wolfgangs Antwort:
>
> Man kann [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] durchaus für
> x<0 betrachten. Dieses uneigentliche Integral ist
> divergent, denn es ist für x<0:
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm]= -
> [mm]\integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
> und [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] divergiert.
>
> Fasst man allerdings [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> als Cauchyschen Hauptwert auf, so benötigt man Beträge:
>
> CH- [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} =ln(|x|)[/mm]
Hallo FRED,
nach der Gleichung wäre z.B. an der Stelle -2 der CH = ln (2). Für [mm] $x\to [/mm] 0$ strebt
[mm] $\int_{-2} [/mm] ^x [mm] \frac [/mm] {dt} [mm] t\to-\infty [/mm] $ und [mm] $\int _x^1\frac [/mm] {dt} [mm] t\to \infty\;,$
[/mm]
und wir erhalten den Wert [mm] $-\infty+\infty\;.$ [/mm] Nun schrecken Analytiker traditionell vor nichts zurück, aber selbst die Kühnsten kommen bei der Gleichung [mm] $-\infty+\infty=-2$ [/mm] doch ins Zweifeln, oder?
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Eine Bemerkung zu Wolfgangs Antwort:
> >
> > Man kann [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] durchaus für
> > x<0 betrachten. Dieses uneigentliche Integral ist
> > divergent, denn es ist für x<0:
> >
> > [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm]= -
> > [mm]\integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> >
> > und [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] divergiert.
> >
> > Fasst man allerdings [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> > als Cauchyschen Hauptwert auf, so benötigt man Beträge:
> >
> > CH- [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} =ln(|x|)[/mm]
>
> Hallo FRED,
>
> nach der Gleichung wäre z.B. an der Stelle -2 der CH = ln
> (2). Für [mm]x\to 0[/mm] strebt
>
> [mm]\int_{-2} ^x \frac {dt} t\to-\infty[/mm] und [mm]\int _x^1\frac {dt} t\to \infty\;,[/mm]
>
> und wir erhalten den Wert [mm]-\infty+\infty\;.[/mm] Nun schrecken
> Analytiker traditionell vor nichts zurück, aber selbst die
> Kühnsten kommen bei der Gleichung [mm]-\infty+\infty=-2[/mm] doch
> ins Zweifeln, oder?
Hallo Wolfgang,
für festes x<0 ist $CH- [mm] \integral_{x}^{1}{1/x dx}= \limes_{a\rightarrow 0+0}[ \integral_{x}^{-a}{1/x \quad dx} +\integral_{a}^{1}{1/x \quad dx} [/mm] ]= ln(|-a|)-ln(|x|)+ln(1|)-ln(|a|)=-ln(|x|)$
FRED
>
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 So 24.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > Eine Bemerkung zu Wolfgangs Antwort:
> > >
> > > Man kann [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] durchaus für
> > > x<0 betrachten. Dieses uneigentliche Integral ist
> > > divergent, denn es ist für x<0:
> > >
> > > [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm]= -
> > > [mm]\integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> > >
> > > und [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] divergiert.
> > >
> > > Fasst man allerdings [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> > > als Cauchyschen Hauptwert auf, so benötigt man Beträge:
> > >
> > > CH- [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} =ln(|x|)[/mm]
> >
> > Hallo FRED,
> >
> > nach der Gleichung wäre z.B. an der Stelle -2 der CH = ln
> > (2). Für [mm]x\to 0[/mm] strebt
> >
> > [mm]\int_{-2} ^x \frac {dt} t\to-\infty[/mm] und [mm]\int _x^1\frac {dt} t\to \infty\;,[/mm]
>
> >
> > und wir erhalten den Wert [mm]-\infty+\infty\;.[/mm] Nun schrecken
> > Analytiker traditionell vor nichts zurück, aber selbst die
> > Kühnsten kommen bei der Gleichung [mm]-\infty+\infty=-2[/mm] doch
> > ins Zweifeln, oder?
>
Hallo FRED,
> für festes x<0 ist [mm]CH- \integral_{x}^{1}{1/x dx}= \limes_{a\rightarrow 0+0}[ \integral_{x}^{-a}{1/x \quad dx} +\integral_{a}^{1}{1/x \quad dx} ]= ln(|-a|)-ln(|x|)+ln(1|)-ln(|a|)=-ln(|x|)[/mm]
Ich habe wieder mal den Mut der Analytiker unterschätzt!
Ich bezweifle, daß piriyaie den CH kennt und deshalb die Betragsstriche geschrieben hat. Ohne CH sind sie sinnlos.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > Eine Bemerkung zu Wolfgangs Antwort:
> > > >
> > > > Man kann [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] durchaus für
> > > > x<0 betrachten. Dieses uneigentliche Integral ist
> > > > divergent, denn es ist für x<0:
> > > >
> > > > [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm]= -
> > > > [mm]\integral_{x}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> > > >
> > > > und [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] divergiert.
> > > >
> > > > Fasst man allerdings [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> > > > als Cauchyschen Hauptwert auf, so benötigt man Beträge:
> > > >
> > > > CH- [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} =ln(|x|)[/mm]
> > >
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> > > Hallo FRED,
> > >
> > > nach der Gleichung wäre z.B. an der Stelle -2 der CH = ln
> > > (2). Für [mm]x\to 0[/mm] strebt
> > >
> > > [mm]\int_{-2} ^x \frac {dt} t\to-\infty[/mm] und [mm]\int _x^1\frac {dt} t\to \infty\;,[/mm]
>
> >
> > >
> > > und wir erhalten den Wert [mm]-\infty+\infty\;.[/mm] Nun schrecken
> > > Analytiker traditionell vor nichts zurück, aber selbst die
> > > Kühnsten kommen bei der Gleichung [mm]-\infty+\infty=-2[/mm] doch
> > > ins Zweifeln, oder?
> >
> Hallo FRED,
>
> > für festes x<0 ist [mm]CH- \integral_{x}^{1}{1/x dx}= \limes_{a\rightarrow 0+0}[ \integral_{x}^{-a}{1/x \quad dx} +\integral_{a}^{1}{1/x \quad dx} ]= ln(|-a|)-ln(|x|)+ln(1|)-ln(|a|)=-ln(|x|)[/mm]
>
> Ich habe wieder mal den Mut der Analytiker unterschätzt!
Mit Mut hat das gar nichts zu tun.
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert.
Der Cauchysche Hauptwert ist unentberlich, wenn man sich mit Funktionentheorie oder Fouriertransformation oder .... beschäftigt.
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> Ich bezweifle, daß piriyaie den CH kennt und deshalb die
> Betragsstriche geschrieben hat.
Das hat ja auch keiner gesagt.
> Ohne CH sind sie sinnlos.
Das ist mir auch klar.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 So 24.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
sind wir uns einig, daß
[mm] $\int _1^x \frac [/mm] {dt} t = [mm] \ln [/mm] |x|$
für negative x falsch ist?
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:22 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> sind wir uns einig, daß
>
> [mm]\int _1^x \frac {dt} t = \ln |x|[/mm]
>
> für negative x falsch ist?
Hallo Wolfgang,
ja, da sind wir uns einig.
Fassen wir zusammen:
1. Für x>0 ist [mm]\int _1^x \frac {dt} t = \ln |x|= \ln x= CH- \int _1^x \frac {dt} t[/mm].
2. Für x [mm] \le [/mm] 0 ist [mm]\int _1^x \frac {dt} t [/mm] divergent, wenn man das Integral als "normales" uneugentliches Integral auffasst.
3. Für x<0 ex. der Cauchysche Hauptwert $CH- [mm] \int _1^x \frac [/mm] {dt} t$ des Integrals und es gilt:
$CH- [mm] \int _1^x \frac [/mm] {dt} t = [mm] \ln |x|=\ln(-x)$ [/mm]
Gruß FRED
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> Grüße,
> Wolfgang
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