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Hallo !!!
Unsere Mathelehrerin hatt uns netterweise schon eine Aufabe unserer Arbeit verraten ;)
"Wann hat das bestimmte Integral nicht relevanz für Flächeninhaltsfunktion"
In der Arbeit werde ich wohl sagen, wenn [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] über
dem Intervall [a ; b] nicht differenzierbar ist und/ oder negativ ist.
(stimmt doch oder?)
Die Sache ist nur: Wie kann ich allgemein zeigen, dass wenn f(x) im Intervall negativ ist, F(b)-F(a) der Flächeninhalt ist, nur mit einem negativen Vorzeichen versehen ?
Ich kann es an bestimmten Funktionen zeigen, aber ich schaff es nicht allgemein...
Vielen Dank für Eure Hilfe !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bit2_Gosu,
Deine Aussage der Differenzierbarkeit des Integrals gibt keinen Sinn in diesem Zusammenhang. Das bestimmte Integral liefert einen Wert und aus diesem lässt sich nun mal nicht auf den Verlauf einer Funktion zurückschließen. Die Fragestellung lautete ja auch nicht, wann Du mit Hilfe des Integrals eine Flächenbestimmung durchführen kannst, sondern wann dies nicht möglich ist. Dies ist dann der Fall, wenn innerhalb der Integralgrenzen die zu integrierende Funktion einen Nulldurchgang hat (oder auch mehrere). In diesem Fall liefert ja die Integration nur die "verbleibende" Fläche, also den Flächeninhalt oberhalb der x-Achse minus den Flächeninhalt unterhalb der x-Achse.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke schon mal Inifinit !!
Gut das mit den Nullstellen leuchtet mir auch ein, aber auch hier müsste ich ja beweisen, dass das Ergebnis des Integrals über einem Itervall [a ; b] in dem Nullstellen enthalten sind, die "verbleibende Fläche" ist.
Das zu zeigen liefe wieder darauf hinaus zu zeigen, dass wenn f(x) im Intervall [a ; b] VOLLSTÄNDIG negativ ist, das Integral der Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse ist, nur mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Wenn ich das bewiesen habe, kann ich beweisen, dass wenn f(x) im Intervall TEILWEISE negativ ist (also Nullstellen vorkommen) das Integral auch nicht der Flächeninhalt ist, sondern die "verbleibende Fläche" ist.
Ersteres zu zeigen gelingt mir aber ja leider nicht.
Wäre echt toll wenn mir hier jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Sa 16.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Ich würde mal folgendes probieren:
Falls immer [mm] f \leq 0 [/mm] oder [mm] f \geq 0[/mm]:
[mm] \int_a^b |f(x)| dx = \left| \int_a^b f(x) dx\right|[/mm]
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Hm ich weis leider gar net was ich damit anfangen kann ??
(Ich mein ok [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] liefert immer den Flächeninhalt, egal ob die Funktion ober- oder unterhalb der x-Achse verläuft.
aber [mm] |\integral_{a}^{b}{f(x) dx}| [/mm] nicht. (oder lieg ich falsch?) )
aber wie dem auch sei, wie kann ich denn damit beweisen, dass wenn f(x) über [a ; b] voll unter der x-Achse verläuft, gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = (-1)A zwischen f(x) und der x-Achse ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 16.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo bitgosu
Das Integral ist ja der Grenzwert einer Summe. und zwar [mm] \summe_{i=1}^{n}\Delta [/mm] xi*f(xi).
Wenn die fkt neg ist sind alle f(xi)negativ, also auch die Summe und der GW.
Es sei denn die [mm] \Delta [/mm] xi sind auch negativ, das sind sie aber nur wenn b<a, also obere Grenze kleiner untere Grenze. (darauf musst du also auch aufpassen.)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Ahh, ich denke ich habs kapiert, cool !!
Vielen Dank euch beiden !!!
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