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Forum "Integralrechnung" - Integral Aufgabe
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Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Fr 23.09.2005
Autor: Magnia

Folgende Aufgabe :
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist sym. zur 2 Achse hat T(2;4) als Tiefpunkt und schließt mit der Tangente durch T eine Fläche mit dem Inhallt 256/15 ein.

Mein Ansatz :

f  (x)= [mm] ax^4+bx^2+c [/mm]
f'(x)= [mm] 4ax^3+2bx [/mm]
f''(x)= [mm] 12ax^2+2b [/mm]

f(2)=4=16a + 4b +c
f´(2)=0=32a+4b

und Ta(x)=4

jetzt denke ich das es ein Intervall von [0;2] gibt, denn die Tangente hat die gleichung f(x)=4 verläuft also parallel zur x Achse und kann also die Fläche dann nur noch bei 0 einschließen.
also
[mm] \integral_{0}^{2} [/mm] {f(x)-Ta(x) dx = 256/15}

wäre ja [mm] ax^4+bx^2+c-4 [/mm] und das aufgeleitet :
[mm] 1/5ax^5+1/3bx^3+cx+4x=256/15 [/mm]
jetzt nur noch einsetzen etc. und fertig ?
oder ?
is der ansatz so richtig ?


        
Bezug
Integral Aufgabe: Fast ... (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Fr 23.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> f(x)= [mm]ax^4+bx^2+c[/mm]
> f'(x)= [mm]4ax^3+2bx[/mm]
> f''(x)= [mm]12ax^2+2b[/mm]
>  
> f(2)=4=16a + 4b +c
> f'(2)=0=32a+4b
>  
> und Ta(x)=4

[daumenhoch]

  

> jetzt denke ich das es ein Intervall von [0;2] gibt, denn
> die Tangente hat die gleichung f(x)=4 verläuft also
> parallel zur x Achse und kann also die Fläche dann nur noch
> bei 0 einschließen.

Das würde ich hier aber anders interpretieren. Die Fläche hat als untere Grenze [mm] $x_u [/mm] \ = \ -2$, da hier ja nichts von irgendwelchen Koordinatenachsen als Begrenzung die Rede ist.

Aus Symmetriegründen (siehe Aufgabenstellung) liegt die untere Grenze also m.E. bei -2.


> [mm]\integral_{0}^{2}[/mm] {f(x)-Ta(x) dx = 256/15}
>
> wäre ja [mm]ax^4+bx^2+c-4[/mm] und das aufgeleitet :
> [mm]1/5ax^5+1/3bx^3+cx+4x=256/15[/mm]

[notok] Klitzekleiner Vorzeichenfehler:

[mm] $\left[\bruch{a}{5}x^5 + \bruch{b}{3}x^3 + cx \ \red{-} \ 4x\right]_{-2}^{+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{256}{15}$ [/mm]


Aber die prinzipielle Vorgehensweise hast Du sehr gut erkannt [daumenhoch] und den richtigen Ansatz gemacht ...

Also hier dann die Grenzen einsetzen und das Gleichungssystem auflösen.


[aufgemerkt] Tipp: Man kann die Symmetrie natürlich auch nochmals ausnutzen und vereinfacht zu:

[mm] $\red{2} [/mm] * [mm] \left[\bruch{a}{5}x^5 + \bruch{b}{3}x^3 + cx - 4x\right]_{\red{0}}^{+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{256}{15}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Fr 23.09.2005
Autor: Magnia

ja danke der tipp ist gut
war nämlich gerade am überlegen wie ich das mit +2 und -2 machen soll
kann ja nicht bei beiden 256/15 rauskommen sondern ich hätte es jetzt :2 geteilt. und jeweils 2 gleichungen aufgeschrieben

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Integral Aufgabe: Auch ohne Symmetrie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Fr 23.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> war nämlich gerade am überlegen wie ich das mit +2 und -2
> machen soll
> kann ja nicht bei beiden 256/15 rauskommen

Nein, natürlich nicht bei beiden!

Aber Du hättest zunächst den Wert $+2_$ einsetzen müssen und anschließend $-2_$ und den Wert vom ersten abziehen. Dieses Differenz hätte dann [mm] $\bruch{256}{15}$ [/mm] ergeben müssen:

[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[F(x)\right]_{a}^{b} [/mm] \ = \ F(b) - F(a)$


Gruß
Loddar


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Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Fr 23.09.2005
Autor: Magnia

ich muss dann doch nochmal fragen denn irgend wo habe ich noch nen fehler :
habe wie du es gesagt hast nun genommen :
[mm] \integral_{0}^{2} {2*(1/5ax^3 ...... etc. f(x) dx = 256/15} [/mm]

erhallte beim einsetzen :
12 4/5 a + 3 1/3b + 4c -16 = 256/15

passt gut zu oben der 4c

also subtraktionsverfahren und erhallte
-51 1/5 a - 12 2/3b = 17 1/15

nun gut nehme ich die gleichung 8a+b =0 nachdem ich :4 geteilt habe
und nehme -51 1/5 a - 12 2/3b = 17 1/15 : -12 2/3 also will das b raushaben
komme dabei auf a = 16/47
das kommt mir sehr komisch vor

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Integral Aufgabe: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Fr 23.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Magnia!


> 12 4/5 a + 3 1/3b + 4c -16 = 256/15

[notok]


Hier erhalte ich:   [mm] $\red{\bruch{128}{5}}a [/mm] + [mm] \bruch{16}{3}b [/mm] + 4c - 16 \ = \ [mm] \bruch{256}{15}$ [/mm]

Da hast Du beim ersten Koeffizient vergessen, mit $2_$ zu multiplizieren ...


Gruß
Loddar


PS: Bei welcher anderen Gleichung hast Du denn ein $4c_$ ? [kopfkratz3]


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Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Fr 23.09.2005
Autor: Magnia

hää wo denn ?

ich habe 2* ( 1/5 [mm] ax^5 [/mm] .....usw)
setze 2 ein =32 und * 1/5 = 6 2/5 a

das ganze nun * 2

12 4/5 a

ist es schon zu spät das ich es nicht raffe?





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Integral Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Fr 23.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Magnia,

> hää wo denn ?
>  
> ich habe 2* ( 1/5 [mm]ax^5[/mm] .....usw)
>  setze 2 ein =32 und * 1/5 = 6 2/5 a
>  
> das ganze nun * 2
>  
> 12 4/5 a

das stimmt doch.

Nach Adam Riese ist  [mm]2\;\left[ {\frac{{ax}}{5}^{5} } \right]_0^{2} \; = 2\;\frac{2^{5}\;a}{5}\;=\;\frac{64\;a}{5}\;=\;12\;\frac{4}{5}\;a[/mm]

Da hat sich wohl Loddar vertan.

Gruß
MathePower

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Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Fr 23.09.2005
Autor: Magnia

gut gut trotzdem komisches ergebis???

Bezug
                                                
Bezug
Integral Aufgabe: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Fr 23.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Magnia,

> gut gut trotzdem komisches ergebis???

da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben.

Es geht doch um folgendes Gleichungssystem:

[mm]\begin{gathered} f(2)\; = \;16\;a\; + \;4\;b\; + \;c\; = \;4 \hfill \\ f'(2) = \;32\;a\; + \;4\;b\; = \;0 \hfill \\ \frac{{64}} {5}\;a\; + \;\frac{{16}} {3}\;b\; + \;4\;c\; - \;16\; = \;\frac{{256}} {{15}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Dieses Gleichungssystem hat keine "komischen" Ergebnisse.

Gruß
MathePower

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Bezug
Integral Aufgabe: Funkyplot
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Fr 23.09.2005
Autor: informix

Hallo Magnia,
allmählich ist Eure Diskussion nur noch schwer zu verfolgen. ;-)

> hää wo denn ?
>  
> ich habe 2* ( 1/5 [mm]ax^5[/mm] .....usw)
>  setze 2 ein =32 und * 1/5 = 6 2/5 a
>  
> das ganze nun * 2
>  
> 12 4/5 a
>  
> ist es schon zu spät das ich es nicht raffe?
>  

Ich verrate dir mal, wie sie aussieht: (gezeichnet mit []Funkyplot)
[Dateianhang nicht öffentlich]

Im Prinzip waren deine Überlegungen ja richtig. Du musst nur noch mal alles sauber untereinander schreiben, um den Überblick wieder zu bekommen.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Integral Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Sa 24.09.2005
Autor: Magnia

ok
f(x)= [mm] ax^4+bx^2+c [/mm]
[mm] f`(x)=4ax^3+2bx [/mm]

f(2)=4=16a+4b+c
f´(0)=32a+4b
ta(x)=4
[mm] \integral_{0}^{2} {f(x)=2*(1/5ax^5+1/3bx^3+cx-4x)=256/15 dx} [/mm]
= 2*(6 2/5 a  + 2 2/3 b +2c -8)=256/15
= 12 4/5a + 3 1/3b + 4c -16 = 256/15 /+16

=12 4/5a + 3 1/3b + 4c=33 1/15
- 64a  +16b +4c = 16
-------------------------------------------
-51 1/5a -12 2/3 b = 17 1/15


a+ 1/8b = 0
- a + 95/384b = -1/3
----------------------------
-47/384b = 1/3
das kann nicht sein ????

Bezug
                                                
Bezug
Integral Aufgabe: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Sa 24.09.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Magnia!


>  [mm]\integral_{0}^{2} {f(x)=2*(1/5ax^5+1/3bx^3+cx-4x)=256/15 dx}[/mm]

Schreibweise etwas unglücklich bzw. ungenau:

[mm]\red{2}*\integral_{0}^{2}{ax^5+bx^2+c-4 \ dx} \ = \ 2*\left[\bruch{1}{5}ax^5+\bruch{1}{3}bx^3+cx-4x\right]_0^2 \ = \ \bruch{256}{15}[/mm]


> = 2*(6 2/5 a  + 2 2/3 b +2c -8)=256/15

[ok]


> = 12 4/5a + 3 1/3b + 4c -16 = 256/15 /+16

[notok] [mm] $2*2\bruch{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{8}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{16}{3} [/mm] \ = \ [mm] \red{5}\bruch{1}{3}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Integral Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Sa 24.09.2005
Autor: Magnia

alles klaar ! jetzt hab ichs auch raus :)
danke an alle

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