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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{k} [/mm] (x)= [mm] (x^{2}-k)^{2} [/mm] mit [mm] \IR [/mm] und k [mm] \in \IR^{+}. [/mm] Der Graph von [mm] f_{k} [/mm] heißt [mm] G_{k}. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Menge aller Tiefpunkte der Graphen [mm] G_{k} [/mm] auf der x-Achse liegen.
b) Bestimmen sie k so, dass zwischen dem Graphen und der x-Achse eine Fläche vom Inhalt [mm] \bruch{5 \wurzel{10}}{3} [/mm] FE eingeschlossen wird! |
Hallo an alle,
die Aufgabe a) habe ich glaube ich richtig gelöst.
Erste Abelitung gleich Null gesetzt und die Tiefpunkte für [mm] \IR^{+} [/mm] ermittelt.
Als ergebnis für die Tiefpunkte habe ich dann [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{k}, x_{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{k} [/mm] heraus.
Als Tiefpunkt T(+/- [mm] \wurzel{k}/0)
[/mm]
Doch bei b) habe ich meine Probleme:
Mein Ansatz: 2 [mm] \integral_{0}^{a}{x^{4}-2kx^{2}+k^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{5 \wurzel{10}}{3}
[/mm]
Aufleitung von der Integrationsfunktion: [mm] \bruch{x^{5}}{5}-2k \bruch{x^{3}}{3}+k^{2}x
[/mm]
Als Integrationsgrenzen haben ich 0 und [mm] \wurzel{k} [/mm] gewählt.
Leider klappt das einsetzen und freistellen nach k nicht, sodass ich nicht ermitteln kann, bei welchem wert für k der Flächeninhalt [mm] \bruch{5 \wurzel{10}}{3} [/mm] beträgt. Kann mir jemand helfen, wie man das rechnen muss, kann ja auch sein, dass mein Ansatz falsch ist.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f_{k}[/mm] (x)= [mm](x^{2}-k)^{2}[/mm] mit
> [mm]\IR[/mm] und k [mm]\in \IR^{+}.[/mm] Der Graph von [mm]f_{k}[/mm] heißt [mm]G_{k}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Menge aller Tiefpunkte der Graphen
> [mm]G_{k}[/mm] auf der x-Achse liegen.
>
> b) Bestimmen sie k so, dass zwischen dem Graphen und der
> x-Achse eine Fläche vom Inhalt [mm]\bruch{5 \wurzel{10}}{3}[/mm] FE
> eingeschlossen wird!
> Hallo an alle,
>
> die Aufgabe a) habe ich glaube ich richtig gelöst.
>
> Erste Abelitung gleich Null gesetzt und die Tiefpunkte für
> [mm]\IR^{+}[/mm] ermittelt.
>
> Als ergebnis für die Tiefpunkte habe ich dann [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]\wurzel{k}, x_{2}=[/mm] - [mm]\wurzel{k}[/mm] heraus.
>
> Als Tiefpunkt T(+/- [mm]\wurzel{k}/0)[/mm]
Korrekt
>
> Doch bei b) habe ich meine Probleme:
>
> Mein Ansatz: 2 [mm]\integral_{0}^{a}{x^{4}-2kx^{2}+k^{2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{5 \wurzel{10}}{3}[/mm]
>
> Aufleitung von der Integrationsfunktion:
> [mm]\bruch{x^{5}}{5}-2k \bruch{x^{3}}{3}+k^{2}x[/mm]
>
> Als Integrationsgrenzen haben ich 0 und [mm]\wurzel{k}[/mm] gewählt.
Korrekt
>
> Leider klappt das einsetzen und freistellen nach k nicht,
> sodass ich nicht ermitteln kann, bei welchem wert für k der
> Flächeninhalt [mm]\bruch{5 \wurzel{10}}{3}[/mm] beträgt. Kann mir
> jemand helfen, wie man das rechnen muss, kann ja auch sein,
> dass mein Ansatz falsch ist.
Wo hakt es denn genau.
Bedenke:
[mm] (\wurzel{k})^{5}=(\wurzel{k})^{4}*(\wurzel{k})^{1}=k²*\wurzel{k}
[/mm]
und [mm] (\wurzel{k})^{3}=(\wurzel{k})^{2}*(\wurzel{k})^{1}=k*\wurzel{k}
[/mm]
Also:
[mm] F(\wurzel{k})=\bruch{k²*\wurzel{k}}{5}-2k*\bruch{k*\wurzel{k}}{3}+k^{2}*\wurzel{k}
[/mm]
[mm] =\wurzel{k}(\bruch{1}{5}k²-\bruch{2}{3}k²+k²)
[/mm]
[mm] =\wurzel{k}(\bruch{8}{15}k²)
[/mm]
Und F(0)=0
Also:
[mm] \wurzel{k}(\bruch{8}{15}k²)=\bruch{5 \wurzel{10}}{3}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt relativ einfach dein k bestimmen.
Marius
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