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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Fr 08.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve K: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4, y > 0
Vekorfeld v=(1,y)
Bestimmen sie [mm] \integral_K [/mm] v ds |
Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
[mm] C_1(t) [/mm] = [mm] \vektor{2 cos(t) \\ 2sin(t)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\pi} \vektor{1 \\ 2sin(t)} [/mm] * [mm] \vektor{-2 sin(t) \\ 2 cos(t)} [/mm] dt
und berechnet..
Ich wollte zunächst über die rotation gehen, aber das Vektorfeld ist ja wirbelfrei. Also ist hier der Weg über die Rotation nicht möglich?
Ist das korrekt, dass: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 nur der Kreisring
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 4 ist die Kreisscheibe mit Radius 2
Vielen Dank fürs drüber schauen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 08.07.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben ist die Kurve K: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4, y > 0
>
> Vekorfeld v=(1,y)
>
> Bestimmen sie [mm]\integral_K[/mm] v ds
> Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]C_1(t)[/mm] = [mm]\vektor{2 cos(t) \\ 2sin(t)}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} \vektor{1 \\ 2sin(t)}[/mm] * [mm]\vektor{-2 sin(t) \\ 2 cos(t)}[/mm]
> dt
>
> und berechnet..
so würde ich das auch machen.
>
> Ich wollte zunächst über die rotation gehen, aber das
> Vektorfeld ist ja wirbelfrei. Also ist hier der Weg über
Richtig, die Rotation verschwindet, das Feld ist also konservativ.
> die Rotation nicht möglich?
Ich weiß nicht, was Du mit dem 'Weg über die Rotation' meinst. Es soll doch ein Kurvenintegral berechnet werden, das hat zunächst nichts mit der Rotation zu tun.
Da das Feld aber konservativ ist, hättest Du alternativ auch eine skalare Potentialfunktion bestimmen und den Wert des Integrals damit berechnen können.
>
> Ist das korrekt, dass: [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4 nur der Kreisring
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 4 ist die Kreisscheibe mit Radius 2
Ja, das ist korrekt.
>
> Vielen Dank fürs drüber schauen.
>
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 08.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Vielen Dank notinx,
ich dachte mit der rotation und dem Satz von Green kann ich ja ein Flächenintegral in ein Lininienintegral umwandeln.
Wann kann ich das machen und wann nicht um die Zirkulation zu berechnen.
Vielen Dank
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> Vielen Dank notinx,
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> ich dachte mit der rotation und dem Satz von Green kann ich
> ja ein Flächenintegral in ein Lininienintegral umwandeln.
>
> Wann kann ich das machen und wann nicht um die Zirkulation
> zu berechnen.
>
> Vielen Dank
Hallo zocca21,
warum berechnest du denn nicht einfach das Kurvenintegral,
das gesucht ist und das du ja schon richtig aufgestellt hast ?
Das ist ganz einfach.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 09.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Genau, über diese Weise kann ich ja immer hier das Kurvenintegral berechnen.
Meine Frage, wann darf ich den Weg über den Fluss von rot v durch ein Flächenstück gehen und wann nicht.
Vielen Dank
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> Genau, über diese Weise kann ich ja immer hier das
> Kurvenintegral berechnen.
>
> Meine Frage, wann darf ich den Weg über den Fluss von rot
> v durch ein Flächenstück gehen und wann nicht.
>
> Vielen Dank
Hallo zocca21,
ich habe gemerkt, dass das Beispiel doch ganz nett ist,
um Stokes (bzw. Green) zu illustrieren. Die direkte
Berechnung des Kurvenintegrals ist hier allerdings kein
Problem.
Um Stokes (bzw. Green) anwenden zu können, muss
man die Kurve K (Halbkreis) zu einer geschlossenen
Kurve ergänzen. Das macht man natürlich, indem man
die Durchmesserlinie D von (-2,0) nach (+2,0) dazu
nimmt. Sei ferner H das Halbkreisgebiet. Dann gilt
[mm] $\integral_{K+D} \vec{v}*d\vec{s}\ [/mm] =\ [mm] \iint\limits_H\vec{rot}(\vec{v})*d\vec{A}$
[/mm]
(um den Rotationsvektor und das [mm] d\vec{A} [/mm] überhaupt dar-
stellen zu können, nimmt man einfach eine dritte
Koordinate zu Hilfe)
LG Al-Chw.
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