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| Aufgabe | Wie muss n gewählt werden, damit das Integral konvergiert?
I = [mm] \int_2^\infty \frac{dx}{x*log[x]^n} [/mm]
[Tipp: Vereinfachen Sie das Integral zunächst durch Substitution!] |
1.) Mit dem Tipp:
setze t = log[x], also dt/dx = 1/x und erhalte:
[mm] \int_2^\infty \frac{dx}{x*log[x]^n} [/mm] = [mm] \int_log[2]^\infty \frac{1}{t^n} [/mm] dt
2.) Ich muss nun zeigen, wie n gewählt werden muss (oder kann), damit das Integral konvergiert. Ich betrachte dann:
[mm] \lim_{b \to \infty} \big[\frac{t^{1-n}}{1-n}\big]_{log[2]}^b [/mm] = [mm] \lim_{b \to \infty} \frac{b^{1-n} - log[2]^{1-n}}{1-n}
[/mm]
Mh.. hier steck ich irgendwie fest. Gibt doch sicher eine bessere Methode, nicht wahr?
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Hallo Kartoffelchen,
das sieht doch ganz gut aus. Du bist ja fast fertig.
> Wie muss n gewählt werden, damit das Integral
> konvergiert?
>
> I = [mm]\int_2^\infty \frac{dx}{x*log[x]^n}[/mm]
>
> [Tipp: Vereinfachen Sie das Integral zunächst durch
> Substitution!]
> 1.) Mit dem Tipp:
>
> setze t = log[x], also dt/dx = 1/x und erhalte:
>
> [mm]\int_2^\infty \frac{dx}{x*log[x]^n}[/mm] = [mm]\int_log[2]^\infty \frac{1}{t^n}[/mm]
> dt
Hier ist Dir in LaTeX etwas missraten. Die Integrationsgrenzen gehören in geschweifte Klammern.
Also [mm] \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\log{(x)})^n}=\int_{\log{(2)}}^{\infty}\frac{dt}{t^n}
[/mm]
Soweit richtig.
> 2.) Ich muss nun zeigen, wie n gewählt werden muss (oder
> kann), damit das Integral konvergiert. Ich betrachte dann:
>
> [mm]\lim_{b \to \infty} \big[\frac{t^{1-n}}{1-n}\big]_{log[2]}^b[/mm]
> = [mm]\lim_{b \to \infty} \frac{b^{1-n} - log[2]^{1-n}}{1-n}[/mm]
Ja, gut. Und nun noch auswerten...
> Mh.. hier steck ich irgendwie fest. Gibt doch sicher eine
> bessere Methode, nicht wahr?
Nein, die Methode ist völlig ok. Du siehst hier:
Wenn 1-n>0 ist, wird der Zähler unendlich.
Wenn 1-n=0 ist, wird der Nenner Null.
Wenn 1-n<0 ist, liegt Konvergenz vor.
Also: n>1 löst Deine Aufgabe. Diese Lösung solltest Du aber eigentlich auch so kennen, sie ist elementar wichtig.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für die sehr schnelle Korrektur und Ergänzung!
Die Fallunterscheidung am Ende war mir zwar bewusst, aber ich stecke fest im Beweis, die daraus resultierende Divergenz bzw. Konvergenz zu zeigen.
Vom "gedanklichen" Experiment her leuchtet es mir ein.
Im Falle 1-n < 0 kann ich den Bruch im letzten Schritt so umformen, dass der gesamte Zähler in den Nenner "rutscht"; Im Zähler bleibt ein "Einser" übrig.
Für diesen Fall, wie auch für "1-n > 0" fehlt mir aber eine mathmatisch-korrekte Beweisidee.
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Hallo nochmal,
für den Fall 1-n>0 gibt es doch nicht viel zu betrachten. Der Nenner bleibt fest, die Logarithmuspotenz auch.
Dann bleibt noch [mm] \lim_{b\to\infty}b^{1-n} [/mm] zu betrachten, und das geht gegen unendlich.
Für diesen Fall gelten die Grenzwertsätze zwar nicht, aber Du kannst die Lösung trotzdem leicht daraus zusammenstricken...
Grüße
reverend
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Oh ja das stimmt :)
Wenn ich den Wert des Integrals bestimmen soll für den Fall, dass das Integral konvergiert, kann ich dann
$ [mm] \lim_{b\to\infty} (\frac{b^{1-n}}{1-n} [/mm] - [mm] \frac{log(2)^{1-n}}{1-n}) [/mm] $ stehen lassen?
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Guten Morgen!
> Oh ja das stimmt :)
>
> Wenn ich den Wert des Integrals bestimmen soll für den
> Fall, dass das Integral konvergiert,
Also n>1.
> kann ich dann
>
> [mm]\lim_{b\to\infty} (\frac{b^{1-n}}{1-n} - \frac{log(2)^{1-n}}{1-n})[/mm]
> stehen lassen?
Besser nicht, sondern den Grenzwert bestimmen. Der wird ja offensichtlich, wenn Du im ersten Bruch das [mm] b^{1-n} [/mm] in den Nenner überführst.
Im Endeffekt bleibt ja nur der rechte Bruch als Grenzwert übrig.
Grüße
reverend
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