Integral Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Mit Hilfe von Polarkoordinaten berechne man das Integral [mm] \integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy} [/mm] |
Hallo!
Könnte bitte jemand kurz meinen Lösungsweg kontrolieren??
1) Transformation von B in Polarkoordinaten:
B: [mm] \{(x,y)| 0 \le y \le 1, 0 \le x \le \wurzel{1-y^2} \} [/mm] wird zu
[mm] B^{,}:\{(r,\delta)| 0 \le r \le 1, \pi \le x \le 2\pi \}
[/mm]
2) Berechnung der JACOBI-Determinante:
Ergebnis: J=r
3) Berechnung des Integrales:
[mm] \integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy} [/mm] = [mm] \integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r*cos(\delta))^2+(r*sin(\delta))^2) *r dr d\delta} [/mm] = [mm] \integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r^2) *r dr d\delta}
[/mm]
Integrationsreihenfolge ist egal, da die Grenzen konstant sind!
4) Auswerten des Integrales:
[mm] \integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r^2) *r dr d\delta} [/mm] = [mm] \bruch{sin(1)}{2}*\pi
[/mm]
Besten Dank für eure Hilfe!
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 26.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mit Hilfe von Polarkoordinaten berechne man das Integral
> [mm]\integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Könnte bitte jemand kurz meinen Lösungsweg
> kontrolieren??
>
> 1) Transformation von B in Polarkoordinaten:
>
> B: [mm]\{(x,y)| 0 \le y \le 1, 0 \le x \le \wurzel{1-y^2} \}[/mm]
> wird zu
> [mm]B^{,}:\{(r,\delta)| 0 \le r \le 1, \pi \le x \le 2\pi \}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist [mm] B=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le 1, x,y \ge 0\}
[/mm]
FRED
>
> 2) Berechnung der JACOBI-Determinante:
>
> Ergebnis: J=r
>
> 3) Berechnung des Integrales:
>
> [mm]\integral_{y=0}^{1}\integral_{x=0}^{\wurzel{1-y^2}}{cos(x^2+y^2) dx dy}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r*cos(\delta))^2+(r*sin(\delta))^2) *r dr d\delta}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r^2) *r dr d\delta}[/mm]
>
> Integrationsreihenfolge ist egal, da die Grenzen konstant
> sind!
>
> 4) Auswerten des Integrales:
>
> [mm]\integral_{r=0}^{1}\integral_{\delta=\pi}^{2\pi}{cos((r^2) *r dr d\delta}[/mm]
> = [mm]\bruch{sin(1)}{2}*\pi[/mm]
>
> Besten Dank für eure Hilfe!
>
> Mfg
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Gerade bemerkt:
B: [mm] \{(x,y)| 0 \le y \le \wurzel{1-x^2}, 0 \le x \le \wurzel{1-y^2} \} [/mm] wird zu
[mm] B^{,}:\{(r,\delta)| 0 \le r \le 1, \bruch{3*\pi}{2} \le \delta \le 2\pi \}
[/mm]
Nun korrekt??
Als Ergebnis erhalte ich dann [mm] \bruch{sin(1)}{4} *\pi
[/mm]
DANKE!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 26.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gerade bemerkt:
>
> B: [mm]\{(x,y)| 0 \le y \le \wurzel{1-x^2}, 0 \le x \le \wurzel{1-y^2} \}[/mm]
> wird zu
> [mm]B^{,}:\{(r,\delta)| 0 \le r \le 1, \bruch{3*\pi}{2} \le \delta \le 2\pi \}[/mm]
>
> Nun korrekt??
Nein. Es ist doch x,y [mm] \ge [/mm] 0, also 0 [mm] \le \delta \le \bruch{\pi}{2} [/mm]
FRED
>
> Als Ergebnis erhalte ich dann [mm]\bruch{sin(1)}{4} *\pi[/mm]
>
> DANKE!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Ach nein! Sorry! Habe mir den Viertelkreis auch schon vorher skizziert, nur den Winkel falsch "betrachtet" - klar das der WInkel von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] geht, ist ja ein Viertelkreis im 1. Quadranten!
Könntest du mir noch kurz den Gefallen tun und kontrollieren, ob der restliche Lösungsweg bzw. das Ergebnis: [mm] \bruch{sin (1)}{4}*\pi [/mm] korrekt sind??
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 26.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ach nein! Sorry! Habe mir den Viertelkreis auch schon
> vorher skizziert, nur den Winkel falsch "betrachtet" - klar
> das der WInkel von 0 bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] geht, ist ja ein
> Viertelkreis im 1. Quadranten!
>
> Könntest du mir noch kurz den Gefallen tun und
> kontrollieren, ob der restliche Lösungsweg bzw. das
> Ergebnis: [mm]\bruch{sin (1)}{4}*\pi[/mm] korrekt sind??
Das ist korrekt.
FRED
>
> DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 26.03.2012 | | Autor: | mike1988 |
Spitze, danke!
Schönen Nachmittag noch...
Lg
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