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Hallo,
ich habe folgendes Problem: (es ist superwichtig, dass ich das hinbekomme! Über jeden Vorschlag bin ich deswegen echt dankbar!!!)
ich betrachte zum einen das reelle Integral [mm] \int_0^n [/mm] f(x)dx und zum anderen die Summe [mm] \sum_{m=1}^n(T^mf)(x). [/mm] Der Operator T ist dabei definiert als:
[mm] $(Tf)(x)=\sum_{j=1}^\infty \alpha_jf(x_jx)$ [/mm] , wobei sich die [mm] \alpha_j [/mm] gerade zu 1 summieren (und alle positiv sind) und [mm] \{x_j\} [/mm] eine dichte Menge bilden (worauf ist mir an dieser Stelle noch nicht ganz klar).
Ich möchte nun die Gleichheit dieser Darstellungen zeigen, also:
[mm] \int_0^n f(x)dx=\sum_{m=1}^n(T^mf)(x)
[/mm]
Ich weiß, dass ich [mm] \sum_{m=1}^n(T^mf)(x) [/mm] schreiben kann als: [mm] \sum_{j=1}^\infty \alpha_j^{(n)} f(x_j^{(n)}x) [/mm] (wobei die [mm] \alpha_j [/mm] und [mm] x_j [/mm] von n abhängig sind und die [mm] \alpha_js [/mm] sich zu n summieren). Wäre nun die Menge [mm] \{x_jx\} [/mm] dicht auf [0,n], so hätte ich hier an dieser Stelle den Grenzwert einer Riemann-Summe stehen und alles wäre perfekt.
Mein Problem ist jetzt aber:
1) Wie muss mein Operator T genau aussehen, damit insgesamt das Integral rauskommt? (Es würde z.B. klappen, wenn [mm] (T^mf)(x)=\int_{n-1}^nf(x)dx [/mm] wäre. Aber das bekomme ich nicht hin. Vllt übersehe ich da aber auch irgendwas)
2) Wenn die obere Frage beantwortet ist, ergibt sich sicherlich direkt die Antwort auf diese: Ist die Menge [mm] \{x_jx\} [/mm] dicht auf [0,n]?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe folgendes Problem: (es ist superwichtig, dass ich
> das hinbekomme! Über jeden Vorschlag bin ich deswegen echt
> dankbar!!!)
>
> ich betrachte zum einen das reelle Integral [mm]\int_0^n[/mm] f(x)dx
> und zum anderen die Summe [mm]\sum_{m=1}^n(T^mf)(x).[/mm] Der
> Operator T ist dabei definiert als:
>
> [mm](Tf)(x)=\sum_{j=1}^\infty \alpha_jf(x_jx)[/mm]
Auf welche Funktionen wird T losgelassen ??? Stetige ? Integrierbare ??, ......
> , wobei sich die
> [mm]\alpha_j[/mm] gerade zu 1 summieren (und alle positiv sind) und
> [mm]\{x_j\}[/mm] eine dichte Menge bilden (worauf ist mir an dieser
> Stelle noch nicht ganz klar).
Das ist schade ( im Hinblick auf Deine Fragen unten)
>
> Ich möchte nun die Gleichheit dieser Darstellungen zeigen,
> also:
>
> [mm]\int_0^n f(x)dx=\sum_{m=1}^n(T^mf)(x)[/mm]
>
>
>
> Ich weiß, dass ich [mm]\sum_{m=1}^n(T^mf)(x)[/mm] schreiben kann
> als: [mm]\sum_{j=1}^\infty \alpha_j^{(n)} f(x_j^{(n)}x)[/mm]
> (wobei die [mm]\alpha_j[/mm] und [mm]x_j[/mm] von n abhängig sind und die
> [mm]\alpha_js[/mm] sich zu n summieren). Wäre nun die Menge
> [mm]\{x_jx\}[/mm] dicht auf [0,n], so hätte ich hier an dieser
> Stelle den Grenzwert einer Riemann-Summe stehen und alles
> wäre perfekt.
Tatsächlich ?
>
> Mein Problem ist jetzt aber:
> 1) Wie muss mein Operator T genau aussehen, damit
> insgesamt das Integral rauskommt?
T ist doch oben definiert !! ?
> (Es würde z.B. klappen,
> wenn [mm](T^mf)(x)=\int_{n-1}^nf(x)dx[/mm] wäre.
Was hat m mit n zu tun ?
> Aber das bekomme
> ich nicht hin. Vllt übersehe ich da aber auch irgendwas)
> 2) Wenn die obere Frage beantwortet ist, ergibt sich
> sicherlich direkt die Antwort auf diese: Ist die Menge
> [mm]\{x_jx\}[/mm] dicht auf [0,n]?
Oben schreibst Du, dass Dir nicht klar ist , in welcher Menge die [mm] x_i [/mm] dicht liegen.
Dann kann man die letzte Frage natürlich nicht beantworten !
FRED
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>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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