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Integral, Summe,: Erklärung,Überprüfung,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Sa 26.11.2011
Autor: Balendilin

Hallo,

ich habe folgendes Problem:  (es ist superwichtig, dass ich das hinbekomme! Über jeden Vorschlag bin ich deswegen echt dankbar!!!)

ich betrachte zum einen das reelle Integral [mm] \int_0^n [/mm] f(x)dx und zum anderen die Summe [mm] \sum_{m=1}^n(T^mf)(x). [/mm] Der Operator T ist dabei definiert als:

[mm] $(Tf)(x)=\sum_{j=1}^\infty \alpha_jf(x_jx)$ [/mm]  , wobei sich die [mm] \alpha_j [/mm] gerade zu 1 summieren (und alle positiv sind) und [mm] \{x_j\} [/mm] eine dichte Menge bilden (worauf ist mir an dieser Stelle noch nicht ganz klar).

Ich möchte nun die Gleichheit dieser Darstellungen zeigen, also:

[mm] \int_0^n f(x)dx=\sum_{m=1}^n(T^mf)(x) [/mm]



Ich weiß, dass ich [mm] \sum_{m=1}^n(T^mf)(x) [/mm] schreiben kann als: [mm] \sum_{j=1}^\infty \alpha_j^{(n)} f(x_j^{(n)}x) [/mm]    (wobei die [mm] \alpha_j [/mm] und [mm] x_j [/mm] von n abhängig sind und die [mm] \alpha_js [/mm] sich zu n summieren). Wäre nun die Menge [mm] \{x_jx\} [/mm]  dicht auf [0,n], so hätte ich hier an dieser Stelle den Grenzwert einer Riemann-Summe stehen und alles wäre perfekt.

Mein Problem ist jetzt aber:
1) Wie muss mein Operator T genau aussehen, damit insgesamt das Integral rauskommt? (Es würde z.B. klappen, wenn [mm] (T^mf)(x)=\int_{n-1}^nf(x)dx [/mm] wäre. Aber das bekomme ich nicht hin. Vllt übersehe ich da aber auch irgendwas)
2) Wenn die obere Frage beantwortet ist, ergibt sich sicherlich direkt die Antwort auf diese: Ist die Menge [mm] \{x_jx\} [/mm] dicht auf [0,n]?



Vielen Dank schonmal für die Hilfe! :-)

        
Bezug
Integral, Summe,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Mo 28.11.2011
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe folgendes Problem:  (es ist superwichtig, dass ich
> das hinbekomme! Über jeden Vorschlag bin ich deswegen echt
> dankbar!!!)
>  
> ich betrachte zum einen das reelle Integral [mm]\int_0^n[/mm] f(x)dx
> und zum anderen die Summe [mm]\sum_{m=1}^n(T^mf)(x).[/mm] Der
> Operator T ist dabei definiert als:
>  
> [mm](Tf)(x)=\sum_{j=1}^\infty \alpha_jf(x_jx)[/mm]

Auf welche Funktionen wird T losgelassen ??? Stetige ? Integrierbare ??, ......

>  , wobei sich die
> [mm]\alpha_j[/mm] gerade zu 1 summieren (und alle positiv sind) und
> [mm]\{x_j\}[/mm] eine dichte Menge bilden (worauf ist mir an dieser
> Stelle noch nicht ganz klar).

Das ist schade ( im Hinblick auf Deine Fragen unten)


>  
> Ich möchte nun die Gleichheit dieser Darstellungen zeigen,
> also:
>  
> [mm]\int_0^n f(x)dx=\sum_{m=1}^n(T^mf)(x)[/mm]
>  
>
>
> Ich weiß, dass ich [mm]\sum_{m=1}^n(T^mf)(x)[/mm] schreiben kann
> als: [mm]\sum_{j=1}^\infty \alpha_j^{(n)} f(x_j^{(n)}x)[/mm]    
> (wobei die [mm]\alpha_j[/mm] und [mm]x_j[/mm] von n abhängig sind und die
> [mm]\alpha_js[/mm] sich zu n summieren). Wäre nun die Menge
> [mm]\{x_jx\}[/mm]  dicht auf [0,n], so hätte ich hier an dieser
> Stelle den Grenzwert einer Riemann-Summe stehen und alles
> wäre perfekt.

Tatsächlich ?

>  
> Mein Problem ist jetzt aber:
>  1) Wie muss mein Operator T genau aussehen, damit
> insgesamt das Integral rauskommt?


T ist doch oben definiert !!  ?


> (Es würde z.B. klappen,
> wenn [mm](T^mf)(x)=\int_{n-1}^nf(x)dx[/mm] wäre.

Was hat m mit n zu tun ?



> Aber das bekomme
> ich nicht hin. Vllt übersehe ich da aber auch irgendwas)
>  2) Wenn die obere Frage beantwortet ist, ergibt sich
> sicherlich direkt die Antwort auf diese: Ist die Menge
> [mm]\{x_jx\}[/mm] dicht auf [0,n]?

Oben schreibst Du, dass Dir nicht klar ist , in welcher Menge die [mm] x_i [/mm] dicht liegen.
Dann kann man die letzte Frage natürlich nicht beantworten !

FRED

>
>
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe! :-)


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