Integral bei e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:25 Sa 04.03.2006 | | Autor: | katerinipro |
| Aufgabe | a.) Bestimme den Beruehrpunkt der Funktion f(x)=e^(1/2x) mit der Tangente, die im Punkt (0/0) beginnt.
b.) Die Funktion, die Tangente und der negative Teil der x-Achse schliessen eine Fläche ein. Bestimme den Flächeninhalt. Hinweis: benutze erstmal als untere Intervalgrenze u [mm] \in \IR^- [/mm] und ermittle den Grenzwert für u gegen minus unendlich. |
Hallo allerseits...
ich wollte diese Aufgabe meinem kleinen Bruder erklären, der in die 12. Klasse geht... musste aber leider feststellen, dass meine Mathekenntnisse etwas eingerostet sind, da ich seit 5 Semestern kein Mathe mehr mache. Meine Idee war es, die Funktionsgleichung mit der Tangentengleichung gleichzusetzen und dann auszulösen, aber ich weiss nicht wie ich die Tangentengleichung bekomme. Zudem weiss ich auch nicht mehr, wie genau die ee-Funktion aufgelösst wird. Dass man den natürtlichen Log verwendet ist klar, aber ich kann eben nicht mehr damit umgehen...
und bei der zweiten Teilaufgabe hab ich dann leider komplett versagt...
Es wäre sehr freundlich und hilfsbereit, wenn mir jemand die Aufgabe mit Lösungsweg posten koennte.
Vielen Dank schonmal an alle die Antworten!
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Disap |
> a.) Bestimme den Beruehrpunkt der Funktion f(x)=e^(1/2x)
> mit der Tangente, die im Punkt (0/0) beginnt.
> b.) Die Funktion, die Tangente und der negative Teil der
> x-Achse schliessen eine Fläche ein. Bestimme den
> Flächeninhalt. Hinweis: benutze erstmal als untere
> Intervalgrenze u [mm]\in \IR^-[/mm] und ermittle den Grenzwert für u
> gegen minus unendlich.
> Hallo allerseits...
Moin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> ich wollte diese Aufgabe meinem kleinen Bruder erklären,
> der in die 12. Klasse geht... musste aber leider
> feststellen, dass meine Mathekenntnisse etwas eingerostet
> sind, da ich seit 5 Semestern kein Mathe mehr mache. Meine
> Idee war es, die Funktionsgleichung mit der
> Tangentengleichung gleichzusetzen und dann auszulösen, aber
> ich weiss nicht wie ich die Tangentengleichung bekomme.
> Zudem weiss ich auch nicht mehr, wie genau die ee-Funktion
> aufgelösst wird. Dass man den natürtlichen Log verwendet
> ist klar, aber ich kann eben nicht mehr damit umgehen...
Meinst du die Funktion f(x) = [mm] e^{0.5x} [/mm] oder f(x) = [mm] e^{\bruch{1}{2x}} [/mm] ?
Nach deiner Klammersetzung gehe ich mal von f(x) = [mm] e^{0.5x} [/mm] aus.
Was macht denn eine Tangente aus?
Eine Tangente (oder Gerade) g(x) berührt die Funktion f(x) in einem Punkt. Da sie berührt, hat sie die selbe Steigung. Daraus ergibt sich die Bedingung
g(x) = mx+b (allgemeine Form der Geraden/Tangente)
f(x) = [mm] e^{0.5x}
[/mm]
Sie haben ja die selbe Steigung, daher gilt
g'(x) = f'(x) (Du weisst noch, wie man ableitet?)
m = [mm] 0.5*e^{0.5x}
[/mm]
Daraus ergibt sich die allgemeine Form
g(x) = [mm] 0.5*e^{0.5x}*x+b
[/mm]
Jetzt haben wir noch den Punkt P(0|0), um zu zeigen, dass die Gerade durch den Punkt geht
g(0) = [mm] 0.5*e^{0.5*0}*0+b [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] b=0
D. h. unsere Tangente nimmt jetzt langsam Form an
g(x) = [mm] 0.5*e^{0.5x}*x [/mm]
Da sie beide eben den selben Punkt besitzen, gilt das Gleichsetzen für einen Schnitt.
D. h. g(x) = f(x)
Daran darfst du dich selbst versuchen, heraus kommt die Stelle, an der sich die Funktionen berühren (Kontrollergebnis: x=2). Dieses ist der Berührpunkt für Aufgabe b, also eine Integralsgrenze.
Gut, jetzt weisst du, an der Stelle x=2 haben sie die selbe Steigung. D. h. es gilt
m=f'(2) = [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
(Okay?)
Wir haben also letzendlich die Tangentengleichung g(x) = [mm] \bruch{e}{2}*x
[/mm]
> und bei der zweiten Teilaufgabe hab ich dann leider
> komplett versagt...
> Es wäre sehr freundlich und hilfsbereit, wenn mir jemand
> die Aufgabe mit Lösungsweg posten koennte.
Dir mangelt es am Ansatz, von daher werde ich dir nicht die komplette Lösung posten. Hättest du den richtigen Ansatz gehabt, hätte ich dazu mehr geschrieben, aber folgendes Vorgehen (müsste dir eigentlich genügen)
Die Funktion, die Tangente und der negative Teil der x-Achse schliessen eine Fläche ein. Die Funktion und Tangente schließen eine Fläche ein. Diesen Punkt als Integralsgrenze haben wir schon gefunden. Daher ist nur noch das mit der negativen X-Achse interessant. Die Funktion, die da lang läuft, ist die E-Funktion f(x). Wann hat die E-Funktion eine Nullstelle? Gar nicht (höchstens im negativen Unendlichen). Daher hast du eine weitere Integralsgrenze
[mm] A=\integral_{a}^{2}{f(x) dx}
[/mm]
Und davon soll man nun den Flächeninhalt bestimmen. Stichwort: Uneigentliches Integral. Sagt dir das noch etwas? Ansonsten einfach mal ein Blick in das Mathematik-Buch deines Bruders werfen oder noch einmal nachfragen.
Es ist ja die Frage, ob die Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat oder nicht (in Büchern wird das auch bezeichnet: ob der Grenzwert existiert - mathematisch korrekter ausgedrückt). Das ganze zeigt man dann mit Hilfe des limes.
Alles klar?
Viele Grüße
Disap
> Vielen Dank schonmal an alle die Antworten!
>
> MfG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Die Aufgabe a ist klar und ich bedanke mich sehr herzlich für die schnelle Antwort...
Bei der Teilaufgabe b ist der Hinweis auch nützlich, allerdings stellt sich mir hier die Frage wie die Graphen liegen (also die Tangente und die Funktion) da die Rede davon ist, dass sowohl Funktion, Tangente und neg. Teil der x-Achse eine Fläche einschliessen... Nach meiner Berechnung kommt für das Integrall von f(x) raus: 2*e^(0,5x) und da muss man dann erstmal die Grenzen 2 und "u" einsetzen... kommt dann nach meiner Rechnung 2e raus, falls ich bei der Grenzwertbetrachtung dann u gegen unendlich laufen lasse.
Das Integral der Tangente ergibt sich zu [mm] (e/4)*x^2 [/mm] und auch hier setze ich dann die Intervallgrenzen 2 und "u" ein, wobei sich hier ein Grenzwert von minus unendlich ergibt für u gegen minus unendlich.
Je nach Lage der Graphen muss doch jetzt ein Integral von dem anderen subtrahiert werden, oder nicht?
Das Problem ist aber, dass der Grpah von der e-Fkt oberhalb der ersten Achse verläuft und die Tangente im negateiven Teil der 1. Achse eben unterhalb...
Ergo können die Tangente, die Funktion und die x-Achse zusammen nicht eine Fläche eingrenzen... Oder???
Oder hab ich mich auch bei den Berechnungen der Integrale vertan?
Hoffe ich hab mich nicht all zu unverständlich ausgedrückt und sorry für die schreibweise, aber ich weiss nicht wie man Fomeln eintippt...
Nochmals danke für die Antworten!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo katerinipro,
!!
Bei derartigen Aufgabe empfiehlt sich stets eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann erkannt man auch schnell: die zu untersuchende Fläche muss in zwei Teilflächen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] unterteilt werden:
[mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) \ dx}$
[/mm]
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-\infty}^{0}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{u\rightarrow-\infty}\integral_{u}^{0}{f(x) \ dx}$
[/mm]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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