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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
| Aufgabe | | Welche Parallele zur y-Achse halbiert die Fläche zwischen der Kurve K: y=2x-x² und der 1. Winkelhalbierenden? |
Hallo,
ich habe leider Probleme die gesuchte Parallele rechnerisch zu ermitteln.
Das habe ich bisher errechnet:
f(x)=2x-x²
g: y=x
Schnittpunkte der beiden sind bei x=0 und x=1.
A= [mm] \integral_{0}^{1}{f(2x-x²-x) dx} [/mm] = [ [mm] \bruch{1}{2}x²- \bruch{1}{3}x³] [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Vorausgesetzt ich habe bis da keinen Rechnenfehler gemacht suche ich nun noch eine senkrechte Gerade die die Fläche auf [mm] \bruch{1}{3} [/mm] halbiert. Das ist bei x=0,5 der Fall.
Leider habe ich das durch probieren herausgefunden und finde nun aber keinen Rechenansatz um das zu beweisen.
Ich bin um jeden Hinweis dankbar.
Grüße,
Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Florian.
> Welche Parallele zur y-Achse halbiert die Fläche zwischen
> der Kurve K: y=2x-x² und der 1. Winkelhalbierenden?
> Hallo,
> ich habe leider Probleme die gesuchte Parallele
> rechnerisch zu ermitteln.
> Das habe ich bisher errechnet:
> f(x)=2x-x²
> g: y=x
> Schnittpunkte der beiden sind bei x=0 und x=1.
Der Ansatz ist gut und die Rechnung auch richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gucken wir mal weiter. Der nächste Ansatz stimmt.
> A= [mm]\integral_{0}^{1}{f(2x-x²-x) dx}[/mm] = [ [mm]\bruch{1}{2}x²- \bruch{1}{3}x³][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Sicherlich ein Tippfehler, das mit dem f. Das hat da nichts mehr zu suchen
A= [mm] \integral_{0}^{1}{\red{f}(2x-x²-x) dx}
[/mm]
> Vorausgesetzt ich habe bis da keinen Rechnenfehler gemacht
Hast du nicht, alles richtig. Glückwunsch.
> suche ich nun noch eine senkrechte Gerade die die Fläche
> auf [mm]\bruch{1}{3}[/mm] halbiert. Das ist bei x=0,5 der Fall.
Da hast du entweder einen schweren Denkfehler oder ich verstehe die Aufgabe anders.
In der Frage steht: Welche Parallele zur y-Achse halbiert die Fläche zwischen der Kurve K: y=2x-x² und der 1. Winkelhalbierenden?
Die Fläche war [mm] \bruch{1}{6}. [/mm] Wenn diese Fläche halbiert werden soll, ist das aber nicht [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{12}.
[/mm]
> Leider habe ich das durch probieren herausgefunden und
> finde nun aber keinen Rechenansatz um das zu beweisen.
> Ich bin um jeden Hinweis dankbar.
Ich gehe jetzt einmal von dem Fall [mm] A=\bruch{1}{12} [/mm] aus.
Dann haben wir doch die Schnittpunkte x=0 und x=1. Nehmen wir mal den Schnittpunkt x=0
[mm] \integral_{0}^{?}{(-x^2+x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{b}{(-x^2+x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Integrieren wir das, setzen die Integralsgrenzen b und 0 ein, bekommen wir die Integralsgrenze (das b heraus). Dieses b ist dann die senkrechte Gerade.
Hoffentlich funktioniert das auch.
> Grüße,
> Florian
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
Hallo Disap,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Natürlich ist die halbe Fläche [mm] \bruch{1}{12}. [/mm] Dummer Fehler von mir.
Leider komme ich immer noch nicht ganz auf die gesuchte Antwort.
Mein Ansatz sieht nun, wie von dir vorgegeben, so aus:
A = [mm] \integral_{0}^{b}{(-x²+x) dx} [/mm] = [ [mm] -\bruch{1}{3}x³+ \bruch{1}{2}x²] [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Ich suche nach b:
- [mm] \bruch{1}{3}b³+ \bruch{1}{2}b² [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Aber wie finde ich nun b heraus? Ich erkenne keinen Lösungsweg mit einen Satz vom Nullprodukt, Substitution, Mitternachtsformel oder Polynomdivision. Mehr Möglichkeiten kenne ich nicht.
Vielen Dank für einen Hinweis.
Grüße,
Florian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Hallo Disap,
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Natürlich ist die halbe Fläche [mm]\bruch{1}{12}.[/mm] Dummer
> Fehler von mir.
>
> Leider komme ich immer noch nicht ganz auf die gesuchte
> Antwort.
>
> Mein Ansatz sieht nun, wie von dir vorgegeben, so aus:
>
> A = [mm]\integral_{0}^{b}{(-x²+x) dx}[/mm] = [ [mm]-\bruch{1}{3}x³+ \bruch{1}{2}x²][/mm]
> = [mm]\bruch{1}{12}[/mm]
>
> Ich suche nach b:
> - [mm]\bruch{1}{3}b³+ \bruch{1}{2}b²[/mm] = [mm]\bruch{1}{12}[/mm]
>
> Aber wie finde ich nun b heraus? Ich erkenne keinen
> Lösungsweg mit einen Satz vom Nullprodukt, Substitution,
> Mitternachtsformel oder Polynomdivision. Mehr Möglichkeiten
> kenne ich nicht.
Jedenfalls kommt da (durch Probieren) auch die Lösung x=0.5 heraus. In diesem Falle bleibt einem die Möglichkeit, das Näherungsweise zu berechnen:
 Newton-Verfahren oder evtl. auch ![[]](/images/popup.gif) Formel von Cardano. Ist aber evtl. etwas zu hoch gegriffen für 12. Klässler (bin mir auch nicht sicher, ob die Formel von Cardano hier zum Ziel führen würde, kenne da nur den Namen der Formel  )
Ansonsten kannst du das ganze auch mal per Hand zeichnen. D. h. du machst eine Kurvendiskussion. Interessanterweise liegt bei der Nullstelle x=0.5 auch eine Wendestellte vor - würdest du also eine Kurvendiskussion machen, hättest du Glück, da der Wendepunkt eine Nullstelle ist.
Damit hättest du eine Nullstelle für die Polynomdivision und könntest weiter machen.
> Vielen Dank für einen Hinweis.
> Grüße,
> Florian
mfG!
Disap
Das fällt mir dazu ein, evtl. hat ja jemand andere Ideen und ich habe etwas vergessen. Daher habe ich die Frage mal auf Halb-Beantwortet gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Fschmidt |
Wow, ist ja schräg diese Formel von Cardano.
Ich denke unser Lehrer wünscht dann eher den Lösungsweg über eine Kurvendiskussion.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße,
Florian
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