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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert des Integrals
$ [mm] \integral_{-20}^{20}{e^{-x^{2}} dx} [/mm] $
auf drei Stellen nach dem Komma genau.
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Hallo,
ich bräuchte etwas hilfe, weil ich
nicht mehr weiß wie man das löst!
Könnte mir das jemand bitte berechnen
und dann eine kleine erklärung dazugeben,
danke schön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:57 Fr 15.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo also bilde zuerst die Stammfunktion
tut mir leid, habe es nicht hinbekommen und muss jetzt weg, nochmals sorry.
Tschüß und viel Erfolg und ein schönes Wochenende
sagt Röby (SORRY)
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Wegen dem "auf drei Stellen genau":
denke ich doch, daß du das numerisch lösen sollst.
Bleibt die Frage, sollst du das per Hand machen, oder sollst du dir was programmieren?
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nein wir sollen einfach nur das integral berechnen,
könnte das jemand bitte machen und
mir dazu ein zwei zwischenschritte angeben
mit erläuterung bitte, bitte.
Danke schön
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Das "'auf drei Stellen genau"' rührt daher, dass die }\mathrm{e}\text{-Funktion eine irrationale Konstante ist.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Erinn're dich doch mal an die Ableitung einer verketteten }\mathrm{e}\text{-Funktion. Es gilt:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f(x)=\mathrm{e}^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=g'(x)*\mathrm{e}^{g(x)}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die Ableitung der gegebenen Funktion \underline{wäre} also:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\Rightarrow f'(x)=-2x*\mathrm{e}^{-x^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Was musst du also als Vorfaktor bei der Stammfunktion schreiben, damit es sich beim Ableiten wieder auflöst?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Den Kehrwert der Ableitung des Exponenten, also:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\Rightarrow F(x)=-\bruch{1}{2x}*\mathrm{e}^{-x^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Alles klar? Stefan.}$
[/mm]
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> Berechnen Sie den Wert des Integrals
> [mm]\integral_{-20}^{20}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> auf drei Stellen nach dem Komma genau.
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> Hallo,
> ich bräuchte etwas hilfe, weil ich
> nicht mehr weiß wie man das löst!
> Könnte mir das jemand bitte berechnen
> und dann eine kleine erklärung dazugeben,
> danke schön!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] $\rmfamily \text{Du hast Recht, da hab' ich mir nen mittelschweren Klops geleistet.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{T'schuldigung,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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[mm] $\rmfamily \text{Ich bin's noch mal,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Derive liefert folgendes Ergebnis:}$
[/mm]
[mm] $$\int \limits^{20}_{-20}f(x)\,\mathrm{d}x=\wurzel{\pi}*\operatorname{erf}\left(20\right)$$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wobei }\operatorname{erf}\left(x\right)\text{ die sogenannte Fehlerfunktion darstellt.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Aus Wikipedia:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die Fehlerfunktion ist von zentraler Bedeutung für Berechnungen in der Statistik.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die Fehlerfunktion }\operatorname{erf}\left(z\right)\text{ ist die Verteilungsfunktion der Gaußverteilung,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{also das Integral der Glockenkurve.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Fr 15.12.2006 | | Autor: | baufux |
Für dieses Integral hat bis jetzt noch niemand eine Stammfunktion gefunden! Wenn man die Integrationsgrenzen auf [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] erweitert erhält man das sogenannte Gauß Integral, dessen Wert [mm]\wurzel{\pi}[/mm] ist.
Die Fehlerfunktion erf ist folgendermaßen definiert: [mm] erf(x) := \bruch{2}{\wurzel{\pi}}\integral_{0}^{x}{e^{-z^{2}} dz} [/mm], damit dreht man sich also im Kreis, außer wenn du einfach annimmst, das [mm] erf(20) = 1 [/mm], was bis auf die 3. Stell hinterm Komma stimmen sollte.
Wenn man das Gauß-Integral explizit berechnen will benötigt man wissen über 2-dimensionale Integrale und Polarkoordinaten. Für alle die es intereesiert hier mal der weg:
[mm] (\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx})^{2} = (\integral_{x=-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx})(\integral_{z=-\infty}^{\infty}{e^{-z^{2}} dz})=\integral_{x=-\infty}^{\infty}{(\integral_{z=-\infty}^{\infty}{e^{-(x^{2}+z^{2}) dx} dx} [/mm]
Nun kommt die Transformation in Polarkoordinaten (entspricht Mathestudium im 3. Semester zumindest an der TU München)
[mm] \integral_{r=0}^{\infty}{(\integral_{\varphi=0}^{2\pi}{re^{-(r^{2}(cos^{2}(\varphi)+sin^{2}(\varphi)) d\varphi} dr} = 2\pi\integral_{r=0}^{\infty}{re^{-r^{2}}} dr [/mm]
Nun kann man sehen, dass [mm] \bruch{d}{dr}e^{-r^{2}}=-2re^{-r^2}[/mm]
Damit ergibt sich, dass [mm]re^{-r^{2}}=-\bruch{1}{2}\bruch{d}{dr}e^{-r^{2}} [/mm]
Daraus ergibt sich: [mm] 2\pi\integral_{r=0}^{\infty}{re^{-r^{2}}} dr=-\pi\integral_{r=0}^{\infty}{\bruch{d}{dr}e^{-r^{2}}} dr=-\pi\[\left[ {e^{ - r^2 } } \right]_0^\infty \]=-\pi(0-1)=\pi [/mm]
Ingesamt erhält man also: [mm] (\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx})^{2}=\pi \Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=\wurzel{\pi} [/mm]
Hoffe es hat geholfen bzw. war interessant
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mo 18.12.2006 | | Autor: | wulfstone |
super danke schön,
hat mir schon sehr geholfen,
wichtig war für mich nur, dass es nicht
auf einem einfachen weg lösbar war!
Nochmals danke,
wulfstone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Do 28.12.2006 | | Autor: | davidh |
Hallo Wulfstone
Die Aufgabe, das Integral anzunähern ist keineswegs allzuschwer.
Nutz doch einfach die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion
[mm] e^{-x^2} \approx \summe_{k=1}^{n} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{k!}
[/mm]
, die du bis zu einem geeigneten n entwickelst. Die Polynome kannst du gliedweise Integrieren, dann die Grenzen einsetzen und kucken, ab welchem Wert für n sich in der 3.Stelle des Ergebnisses nichts mehr tut.
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