www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungIntegral berechnen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Integralrechnung" - Integral berechnen
Integral berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral berechnen: Richtig gerechnet?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
[mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx}= [/mm]

Hallo zusammen, ich habe das mal so angefangen:

[mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin2x*sin2x \ \ dx}[/mm]

Dann habe ich die partielle Integration angewandt mit:

[mm]f(x)=sin2x \ \ f'(x)=2cos2x[/mm]
[mm]g(x)=-\bruch{1}{2}cos2x \ \ g'(x)=sin2x[/mm]

Das ergibt dann insgesamt:

[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}*[sin2x*(-\bruch{1}{2}cos2x)]_a^b - \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{2cos2x*(-\bruch{1}{2}cos2x) \ \ dx}[/mm]

[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{8}*[sin2x*cos2x)]_a^b + \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}x \ \ dx}[/mm]

Jetzt erst Mal die Frage: ist das bis hierher richtig gerechnet oder hat sich ein Fehler eingeschlichen?

Als nächstes würde ich den Trick anwenden, dass ich auf beiden Seiten der Gleichung das Integral [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] addieren würde und den trigonometrischen Pythagoras [mm]sin^{2}2x+cos^{2}2x=1[/mm] anwenden.

Ich freue mich sehr auf eure Kommentare!

Viele Grüße, Andreas


        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mo 10.03.2008
Autor: steppenhahn

Du hast alles richtig gemacht.

Auf beiden Seiten musst du aber natürlich [mm]+\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}[/mm]

rechnen :-)

Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Hallo Stefan, vielen Dank für Deine schnelle Antwort ;-)

OK, dann mal weiter:

$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] $

Wir addieren also auf beiden Seiten $ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx} [/mm] $ und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}$ [/mm]

jetzt wenden wir auf der rechten Seite den trigonometrischen Pythagoras an und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}[x]_a^b$ [/mm]

Wir multiplizieren beide Seiten mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}[x]_a^b [/mm] = [mm] -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}$ [/mm]

Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?

Viele Grüße, Andreas


Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 10.03.2008
Autor: angela.h.b.


>  
> [mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b + \bruch{1}{8}[x]_a^b = -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}[/mm]
>  
> Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?

Hallo,

das sieht sehr richtig aus, und ich finde, daß man es eigentlich so stehenlassen kann.

Wenn man will, kann man [mm] [sin2x\cdot{}cos2x)] [/mm] noch schreiben als  Faktor*sin(4x).

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Liebe Angela, vielen Dank für Deine Kontrolle.

Du meinst also [mm] [sin2x\cdot{}cos2x] = \bruch{sin4x}{2} [/mm] wenn ich Dich richtig verstehe.

Viele Grüße nach Kaiserslautern, Andreas

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]