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Forum "Integralrechnung" - Integral berechnen
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Integral berechnen: Richtig gerechnet?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Aufgabe
[mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx}= [/mm]

Hallo zusammen, ich habe das mal so angefangen:

[mm]\integral_{a}^{b}{cos^{2}x*sin^{2}x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin2x*sin2x \ \ dx}[/mm]

Dann habe ich die partielle Integration angewandt mit:

[mm]f(x)=sin2x \ \ f'(x)=2cos2x[/mm]
[mm]g(x)=-\bruch{1}{2}cos2x \ \ g'(x)=sin2x[/mm]

Das ergibt dann insgesamt:

[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = \bruch{1}{4}*[sin2x*(-\bruch{1}{2}cos2x)]_a^b - \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{2cos2x*(-\bruch{1}{2}cos2x) \ \ dx}[/mm]

[mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{8}*[sin2x*cos2x)]_a^b + \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}x \ \ dx}[/mm]

Jetzt erst Mal die Frage: ist das bis hierher richtig gerechnet oder hat sich ein Fehler eingeschlichen?

Als nächstes würde ich den Trick anwenden, dass ich auf beiden Seiten der Gleichung das Integral [mm]\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] addieren würde und den trigonometrischen Pythagoras [mm]sin^{2}2x+cos^{2}2x=1[/mm] anwenden.

Ich freue mich sehr auf eure Kommentare!

Viele Grüße, Andreas


        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mo 10.03.2008
Autor: steppenhahn

Du hast alles richtig gemacht.

Auf beiden Seiten musst du aber natürlich [mm]+\bruch{1}{4}*\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}[/mm]

rechnen :-)

Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Hallo Stefan, vielen Dank für Deine schnelle Antwort ;-)

OK, dann mal weiter:

$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] $

Wir addieren also auf beiden Seiten $ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx} [/mm] $ und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{cos^{2}2x \ \ dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\sin^{2}(2x) dx}$ [/mm]

jetzt wenden wir auf der rechten Seite den trigonometrischen Pythagoras an und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}[x]_a^b$ [/mm]

Wir multiplizieren beide Seiten mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und erhalten:

$ [mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b [/mm] + [mm] \bruch{1}{8}[x]_a^b [/mm] = [mm] -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}$ [/mm]

Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?

Viele Grüße, Andreas


Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 10.03.2008
Autor: angela.h.b.


>  
> [mm]\bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{sin^{2}2x \ \ dx} = -\bruch{1}{16}\cdot{}[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b + \bruch{1}{8}[x]_a^b = -\bruch{[sin2x\cdot{}cos2x)]_a^b - 2*[x]_a^b}{16}[/mm]
>  
> Soweit richtig? Kann man das noch vereinfachen?

Hallo,

das sieht sehr richtig aus, und ich finde, daß man es eigentlich so stehenlassen kann.

Wenn man will, kann man [mm] [sin2x\cdot{}cos2x)] [/mm] noch schreiben als  Faktor*sin(4x).

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Mo 10.03.2008
Autor: ebarni

Liebe Angela, vielen Dank für Deine Kontrolle.

Du meinst also [mm] [sin2x\cdot{}cos2x] = \bruch{sin4x}{2} [/mm] wenn ich Dich richtig verstehe.

Viele Grüße nach Kaiserslautern, Andreas

Bezug
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