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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
| Aufgabe | Berechne für [mm] \gamma [/mm] := [mm] \gamma_{o,1} [/mm] und [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{ }{\bruch{e^{z}-e^{-z}}{z^{n}}dz} [/mm] |
Hallo zusammen,
leider weiß ich nicht wie ich hier anfangen soll. Ich weiß nur dass ich die Cauchysche Integralformel für Ableitungen benutzen soll. Also:
[mm] f^{n}(z)=\bruch{n!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{a,r}}^{ }{\bruch{f(w)}{(w-z)^{n+1}}dw}
[/mm]
Aber ich will doch hier nix ableiten (?). Oder setz ich die Formel hinter meinem Integral als erste Ableitung, also auf die linke Seite von der Cauchyformel? Das hab ich schon probiert aber ich kriegs trotzdem nicht hin.
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Liebe Grüße,
sie-nuss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 So 08.06.2008 | | Autor: | Blech |
[mm]f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{a,r}}^{ }{\bruch{f(w)}{(w-z)^{n+1}}dw}[/mm]
>
> Aber ich will doch hier nix ableiten (?).
Du kannst doch die Formel nach dem Integral auflösen, oder wieso nicht?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
vielen dank für die schnelle antwort.
Ok, wenn ich sie dann nach dem Integral auflöse, wie arbeite ich dann damit? setze ich dann das Integral der aufgabe da beim Integral der Formel ein? Dann verwirrt mich das [mm] (w-z)^{n+1}. [/mm] Und was ist die Ableitung?
Ist dann das f(w) der Formel bei mir sozusagen [mm] e^{w}-e^{-w} [/mm] ?
Irgendwie blick ich nicht durch... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 08.06.2008 | | Autor: | Blech |
> vielen dank für die schnelle antwort.
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> Ok, wenn ich sie dann nach dem Integral auflöse, wie
> arbeite ich dann damit? setze ich dann das Integral der
> aufgabe da beim Integral der Formel ein?
Das Integral der Aufgabe ist doch das Integral der Formel bis auf Kleinigkeiten, die mußt Du durch entsprechende Wahl von z und n in der Formel halt noch beseitigen. =)
Und [mm] $e^w-e^{-w}$ [/mm] wirst Du doch ableiten können [mm] ($=2\sinh(w)$, [/mm] btw.)
ciao
Stefan.
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> Berechne für [mm]\gamma[/mm] := [mm]\gamma_{o,1}[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm]
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{ }{\bruch{e^{z}-e^{-z}}{z^{n}}dz}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> leider weiß ich nicht wie ich hier anfangen soll. Ich weiß
> nur dass ich die Cauchysche Integralformel für Ableitungen
> benutzen soll. Also:
>
>
> [mm]f^{n}(z)=\bruch{n!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{a,r}}^{ }{\bruch{f(w)}{(w-z)^{n+1}}dw}[/mm]
>
> Aber ich will doch hier nix ableiten (?). Oder setz ich die
> Formel hinter meinem Integral als erste Ableitung, also auf
> die linke Seite von der Cauchyformel? Das hab ich schon
> probiert aber ich kriegs trotzdem nicht hin.
>
> Würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
> Liebe Grüße,
>
> sie-nuss
Ich denke, dass es, um das Integral der Aufgabe mit dem
Integral der Cauchyformel zur Übereinstimmung zu bringen,
zuerst nötig ist, Variablen umzubenennen. Ich würde in
der Cauchyformel folgende Umbenennungen vornehmen:
w [mm] \to [/mm] z z [mm] \to [/mm] u n [mm] \to [/mm] k
Dann lautet die Formel neu:
[mm]f^{k}(u)=\bruch{k!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{a,r}}^{ }{\bruch{f(z)}{(z-u)^{k+1}}dz}[/mm]
Dann habe ich zwei kleine Fragen:
1.) Gehe ich richtig in der Annahme, dass mit [mm] \gamma_{\alpha,r} [/mm]
der einmal im positiven Sinn umlaufene Kreis mit Mittelpunkt
a\ [mm] \in\ \IC [/mm] und Radius r [mm] \in \IR^{+} [/mm] gemeint ist ?
2.) Ist auch richtig, dass eigentlich a = u (=ursprüngliches z) sein sollte ?
Habe grad die Cauchyformel nachgeschlagen. Sie gilt (in
deiner ersten Formulierung) für alle z in der Kreisscheibe,
also insbesondere für deren Mittelpunkt. Also erübrigt sich
meine zweite Frage...
Falls du beide Fragen mit ja beantworten kannst, sollte es
nicht mehr schwer sein, das Integral der Aufgabe mit dem
Integral der Formel (mit a = u = 0 , k = n-1 und [mm] f(z)=e^z-e^{-z})
[/mm]
zur Übereinstimmung zu bringen.
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
ok, so langsam verstehe ich vielleicht was... also ich komm jetzt auf
[mm] f^{(n-1)}(u)=\bruch{(n-1)!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{0,1}}^{ }{\bruch{e^{-z}-e^{z}}{z^{n}}dz}
[/mm]
stimmt das so?
aber was ist jetzt die (n-1)-te Ableitung?... oder stimmt noch was nicht?
Danke für die Hilfe :)
sie-nuss
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> ok, so langsam verstehe ich vielleicht was... also ich
> komm jetzt auf
>
> [mm]f^{(n-1)}(u)=\bruch{(n-1)!}{2\pi i}\integral_{\gamma_{0,1}}^{ }{\bruch{e^{-z}-e^{z}}{z^{n}}dz}[/mm]
>
> stimmt das so?
ich glaube, du hast [mm] e^{z}-e^{-z} [/mm] durch [mm] e^{-z}-e^{z} [/mm] ersetzt...
> aber was ist jetzt die (n-1)-te Ableitung?... oder stimmt
> noch was nicht?
>
> Danke für die Hilfe :)
>
> sie-nuss
Das stimmt im Übrigen soweit, du solltest nur noch [mm]\ u=0[/mm]
einsetzen. Auf der rechten Seite kommt jetzt ja das gesuchte
Integral vor; bezeichnen wir dieses einmal kurz mit [mm]\ I[/mm] .
Dann können wir nach [mm]\ I[/mm] auflösen und haben:
[mm]\ I=f^{(n-1)}(0)*\bruch{2*\pi*i}{(n-1)!}[/mm]
In dem Term der rechten Seite muss jetzt nur noch die
[mm]\ (n-1)[/mm]-te Ableitung von [mm]\ f(z)[/mm] berechnet und für den Wert [mm]\ z=0[/mm]
ausgewertet werden.
Das ist aber keine grosse Sache mehr:
es ist ja [mm]\ f(z) = e^z-e^{-z}[/mm]
Berechne einmal [mm]\ f'(z), f''(z), f^{(3)}(z), f^{(4)}(z)[/mm] und überleg'
dir, wie dieses Spielchen weiter geht.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
achso klar, weil ja $0$ in unserer Kreisscheibe [mm] \gamma_{0,1} [/mm] ist, gell?
also [mm] $f(z)=e^{z}-e^{-z}=2sinh(z)$ [/mm] oder? das heißt
$f'(z)=2cosh(z)$
$f''(z)=2sinh(z)$
[mm] f^{(3)}(z)=2cosh(z)
[/mm]
aber das heißt doch dass [mm] $f^{(n)}(0)$ [/mm] immer abwechselnd 2 und 0 ist oder?!
vielen dank für die tolle hilfe!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
... habe ich dann zwei Lösungen? Also für n gerade und für n ungerade?
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> ... habe ich dann zwei Lösungen? Also für n gerade und für
> n ungerade?
>
Ja.
Man kann sie allerdings in einer einzigen Formel
zusammenfassen mittels der Idee, dass
[mm]\ (-1)^n = \begin{cases} 1, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
oder auch
[mm]\ 1+(-1)^n = \begin{cases} 2, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{falls }n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Mit dieser Überlegung erhalte ich für das ursprünglich
gesuchte Integral [mm]\ I[/mm] die Formel:
[mm]\ I = (1+(-1)^{n})*\bruch{2*\pi*i}{(n-1)!}[/mm]
(ohne absolute Gewähr, aber ich habe mir Mühe gegeben...)
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 08.06.2008 | | Autor: | sie-nuss |
okay! also für mich klingt das plausibel :)
vielen vielen dank nochmal für die super hilfe, hat mir viel gebracht!
Liebe Grüße und einen schönen Abend,
sie-nuss
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