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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Fr 04.03.2005 | | Autor: | BigT |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo :)
Ich bin dabei eine bestimme Aufgabe zu rechenn, bin auch bis zu einem Ergebnis gekommen, leider unterscheidet sich das von dem was Derive ausgibt .. würde mich über unterstützung bei der Fehlersuche freuen. :)
Aufgabenstellung :
"Für die Auslenkung a(t) (in cm) einer gedämpften Schwingung zur Zeit t
(in s) gillt a(t) = [mm] 8\*e^{-0,2\*t} \*sin(t).
[/mm]
Berechnen sie den Mittelwert der Auslenkung in diesem Zeitintervall.(0-15)"
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Eigene Rechnung :
(Produktintegration wurde von mir angewendet)
was ich für u bzw. v' gewählt habe lasse ich erstmal weg. (auf wunsch kann ich´s noch ergänzen. Zur algm. info : 8*e etc. = u und v'=sin(t))
[mm] I=[8\*e^{-0,2\*t}*sin(t)]- \integral_{0}^{15} {1,6\*e^{-0,2\*t}\*cos(t) dx}
[/mm]
dann nochmal integriert :
[mm] I=[8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t)]-([1,6\*e^{-0,2\*t}\*cos(t)]+ \integral_{0}^{15} {0,32\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx})
[/mm]
jetzt das minus von VOR der Klammer IN die Klammer multipliziert :
[mm] I=[8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t)-1,6\*e^{-0,2\*t}\*cos(t)]- \integral_{0}^{15} {0,32\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx})= \integral_{0}^{15} {8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx} [/mm] (Die Ausgangsintegrationsfunktion oder wie man das nennt)
nun plus [mm] \integral_{0}^{15} {0,32\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx}
[/mm]
Ergibt :
[mm] \integral_{0}^{15} {8,32\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx} [/mm] = [mm] [8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t)-1,6\*e^{-0,2\*t}\*cos(t)]
[/mm]
Folglich ist also [mm] \integral_{0}^{15} {8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t) dx} [/mm] =
[mm] \bruch{[8\*e^{-0,2\*t}\*sin(t)-1,6\*e^{-0,2\*t}\*cos(t)]}{8,32}
[/mm]
per Taschenrechner ergibt das ca. 0,2 ...
Derive sagt jedoch 7,9! Wenn man sich den Graphen anguckt, fällt einem leicht auf, dass 7,9 wahrscheinlicher ist! (wir brechnen ja das integral, also die flächendifferenz)
Die Aufgabe ist nun noch keineswegs fertig gelöst, aber ich möchte erstmal richtig integrieren bevor ich weiterrechne. Bin für alle hilfe dankbar, hoffe wir finden den fehler ... ist mein erster beitrag hier, das formelsystem ist cool :]aber ich glaub der ein oder andere fehler hat sich bei mir eingeschlichen - mal schaun ...
also danke schon im vorraus ...
tschuuuuu Timo
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:59 Fr 04.03.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich glaube du hast von Anfang an falsch integriert.
Ich gehe jetzt hier nur auf die Integration der Funktion
a(t) = [mm] 8e^{-0,2t}*sin(t) [/mm] ein.
a(t) = [mm] \integral_{0}^{15} {8e^{-0,2t}*sin(t)dt}
[/mm]
= [mm] [-0,1t^2*8e^{-0,2t}*(-cos(t))] [/mm] = [mm] [0,8t^2*e^{-0,2t}*cos(t)].
[/mm]
Das Ganze dann integrieren wie du es brauchst.
Gruß,
Dominic
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Fr 04.03.2005 | | Autor: | BigT |
sorry dass ich so dumm frage aber wie kommst du auf die antwort ? welches system benutzt du ?
sieht nicht nach einer "normalen" Produktintegration aus ...
mfg :)
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Hi, BigT,
wir sind uns wohl darüber einig, dass Deine Stammfunktion "vom richtigen Typ" ist, nur die Konstanten sind fraglich!
Ich geh' die Sache mal von hinten an. Dabei lass' ich die störende Konstante 8 bei der Rechnung weg. Ich berechne also nur eine Stammfunktion zu [mm] f(x)=e^{-0,2t}*sin(t).
[/mm]
Ansatz: F(x) = [mm] e^{-0,2t}*(a*sin(t)+b*cos(t))
[/mm]
Ableitung: F'(x) = [mm] -0,2*e^{-0,2t}*(a*sin(t)+b*cos(t)) [/mm] + [mm] e^{-0,2t}*(a*cos(t)-b*sin(t))
[/mm]
= [mm] e^{-0,2t}*((-0,2a-b)*sin(t)+(a-0,2b)*cos(t)) [/mm]
Koeffizientenvergleich mit f(x) ergibt:
-0,2a-b=1
a-0,2b=0
Daraus hab' ich nun berechnet: [mm] a=-\bruch{5}{26}; b=-\bruch{25}{26}
[/mm]
Also: [mm] F(x)=-\bruch{5}{26}*e^{-0,2t}*(sin(t)+5*cos(t))
[/mm]
Musst natürlich noch mit 8 multiplizieren bevor Du die Grenzen einsetzt!
Hoffentlich stimmt's jetzt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 04.03.2005 | | Autor: | BigT |
okay .. mhhh ...
da du ja klammern gesetzt hast müsste das ja :
$ [mm] F(x)=-8\*\bruch{5}{26}\cdot{}e^{-0,2t}\cdot{}(sin(t)+5\cdot{}cos(t)) [/mm] $
fix einmal 15 für t einsetzen und dann minus das ergebnis bei 0 ...
erg [mm] \approx [/mm] 7,3026 ...
Derive versucht mit aber zu erzählen dass 7,9334 das richtige ergebnis ist ...
also ist demnach doch noch ein fehler in meiner Rechnung ?
gibt es eigentlich andere (bessere) methoden diese aufgabe zu rechnen oder ist die Partielle Integration schon die "beste" ?
mfg :)
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Hi, BigT,
hast Du mein Ergebnis nachgerechnet? Am besten leitest Du die Stammfunktion ab und schaust, ob f(x) rauskommt!
Zu Deiner Frage nach der "besten" Methode:
Naja: Eigentlich hast Du ja 2 Methoden vorliegen:
(1) Deine partielle Integration und
(2) meine "indirekte" Methode, die darauf beruht, dass man durch logische Überlegung die Form des Term rauskriegt und dann über Ableitung und Koeffizientenvergleich den endgültigen Term der Stammfunktion bestimmt.
Ich verwende diese letztere Methode bei Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen eigentlich sehr gerne!
Weitere Möglichkeiten (Substitution geht wohl nicht; Partialbruchzerlegung sowieso nicht) scheinen mir nicht gegeben!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Fr 04.03.2005 | | Autor: | BigT |
okay .... hab alles nochmal überprüft ...
deine rechnung kommt hin ;) meine nun auch (war nur ein kleiner denkfehler zum schluss hin)
derive rechnet aussschließlich im rad-modus, daher das andere (falsche) ergebnis ...
danke für deine hilfe ^^
dein eigene Methode hört sich interresannt an ...
ich (und alle anderen die mir beim rechnen geholfen haben) sind interresiert .. könntest du uns die anhand eines simplen beispieles etwas näher bringen ? bitte :)
(was ist eigentlich ein Koeffizientenvergleich ?)
unnu nochmal 1000 dank für deine hilfe bisher :] hat uns echt geholfen ..
tschoooo
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Hi,
wollte grade noch schreiben, dass ich das Ergebnis von 7,93 für richtig halte!
Na gut: Wenn Du's schon weißt, um so besser!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Fr 04.03.2005 | | Autor: | TomJ |
> Aufgabenstellung :
> "Für die Auslenkung a(t) (in cm) einer gedämpften
> Schwingung zur Zeit t
> (in s) gillt a(t) = [mm]8\*e^{-0,2\*t} \*sin(t).
[/mm]
> Berechnen
> sie den Mittelwert der Auslenkung in diesem
> Zeitintervall.(0-15)"
>
[mm] \bruch{8}{15}\integral_{0}^{15} {|e^{-0,2*t}*sin(t)| dt}=1.606746...
[/mm]
numerisch oder stets von NST bis NST, Beträge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Fr 04.03.2005 | | Autor: | BigT |
Von nullstelle zu nullstelle ist klar ...
(sind ja die der norm. sinus-funktion)
aber wie löse ich das numerisch ? ist das einfacher .. bzw. schneller :) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo BigT!
> Von nullstelle zu nullstelle ist klar ...
> (sind ja die der norm. sinus-funktion)
> aber wie löse ich das numerisch ? ist das einfacher ..
> bzw. schneller :) ?
Wenn du ein CAS hast, dann schon, ja.  Einfach in z.B. Maple eingeben und du hast das Ergebnis. "Numerisch" meint hier computergestützte Näherungsverfahren.
Liebe Grüße
Stefan
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