Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 23.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
sei folgendes Integral gegeben:
[mm] \integral_{0}^{4}\wurzel{1+2sin\bruch{t}{2}} *2sin\bruch{t}{2}* [/mm] cost dt
Wie berechnet man das Integral (ansatzweise)? Was soll man hier substituiren (falls Substitution)?
Vielleicht auch so was wie z= tan [mm] \bruch{t}{2} [/mm] ?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> sei folgendes Integral gegeben:
> [mm]\integral_{0}^{4}\wurzel{1+2sin\bruch{t}{2}} *2sin\bruch{t}{2}*[/mm]
> cost dt
Hallo,
es ist [mm] (sin(t/4)+cos(t/4))^2=sin²(t/4)+cos²(t/4)+2sin(t/4)cos(t/4)=1+2sin(t/2) [/mm] und damit
[mm] \wurzel{1+2sin\bruch{t}{2}}=|sin(t/4)+cos(t/4)|
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Wie berechnet man das Integral (ansatzweise)? Was soll man
> hier substituiren (falls Substitution)?
Hallo,
das riecht sehr nach der Anwendung der Doppel- und Halbwinkelformeln.
Du findest sie unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
ziemlich weit unten.
Gruß Abakus
> Vielleicht auch so was wie z= tan [mm]\bruch{t}{2}[/mm] ?
>
> MfG
> Igor
>
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:28 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo abakus,
man kann jetzt mit den Doppel-Halbwinkelfunktionen den Integranden umformen, jedoch ich weiß nicht, wie ich das umformen soll (mit welchem Ziel ?) .Mir ist klar , dass der Integrand einfacher werden soll. Bei meinen Umformungen sehe ich nicht, dass der Integrand einfacher geworden ist.
Vielleicht noch ein Tipp 
MfG
Igor
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Ich hab mir einfach mal erlaubt, das Integral vom Computer berechnen zu lassen... Das bringt dich vielleicht nicht den Weg, aber vielleicht einen Hinweis, wo du hinkommen musst.
Folgendes Ergebnis erhalte ich bei unbestimmter Integration:
[mm]\int \sqrt{1+2\text{Sin}\left(\frac{t}{2}\right)}2\text{Sin}\left(\frac{t}{2}\right)\text{Cos}(t)dt =
\frac{4}{105} \left(7 \sqrt{3} \text{E}\left(\frac{\pi -t}{4},\frac{4}{3}\right)+19 \sqrt{3} \text{F}\left(\frac{\pi -t}{4},\frac{4}{3}\right)+\sqrt{1+2 \text{Sin}\left(\frac{t}{2}\right)} \left(41 \text{Cos}\left(\frac{t}{2}\right)-15 \text{Cos}\left(\frac{3 t}{2}\right)+3 \text{Sin}(t)\right)\right)[/mm]
Dabei ist [mm]E(x,m)[/mm] das zweite elliptische Integral mit [mm]E(x,m) = \int _0^{x}\left(1-m\sin ^2(\theta )\right)^{1/2}d\theta[/mm]
Und [mm]F(x,m)[/mm] das erste elliptische Integral mit [mm]F(x,m) = \int _0^{x}\left(1-m\sin ^2(\theta )\right)^{-1/2}d\theta[/mm]
Setzt man nun die Grenzen ein, so erhält man vermutlich den Wert -5 (vermutlich, da das Integral nur näherungsweise berechnet werden kann. Die Ausgabe lautete: [mm]-5.00121-9.84742*10^{-17} i[/mm])
Viel Erfolg beim weiteren Knobeln ;)
MfG Sunny
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> Hallo,
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> sei folgendes Integral gegeben:
> [mm]\integral_{0}^{4}\wurzel{1+2sin\bruch{t}{2}} *2sin\bruch{t}{2}*cos\,t\ dt[/mm]
>
> Wie berechnet man das Integral (ansatzweise)? Was soll man
> hier substituiren (falls Substitution)?
> Vielleicht auch so was wie z= tan [mm]\bruch{t}{2}[/mm] ?
>
> MfG
> Igor
Hallo Igor,
Sunshinekid hat schon angegeben, welche eher
monströse Lösung sich ergibt.
Es gäbe aber ein sehr schön von Hand zu bewälti-
gendes Integral, falls du zuerst den (wie ich
sehr vermute) in deiner Aufgabe steckenden
"Druckfehler" eliminieren würdest.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
ja, das Problem ist: Ich habe später bemerkt , dass dieses Integral nicht stimmt (weil ich bei meinen Vorberechnung Fehler gemacht habe).
Eigentlich sollte ein anderes Integral gepostet werden, das ich schon gelöst habe.
Also , die Frage hat sich erledigt , sorry für das komplizierte Integral
MfG
Igor
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