Integral berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 27.10.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{D}{f(x) dx} [/mm] mit
f(x,y) = [mm] \bruch{2y}{1+x^{2}} [/mm] und
[mm] D=({(x,y)^{T}\in \IR^{2}: 0 \le x \le 2, -x \le y \le x^2})
[/mm]
und skizzieren sie D. |
Hi ! Ich leg einfach mal los.
[mm] \integral_{D}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{(\integral_{-x}^{x^{2}}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dy}) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x^{4}-x^{2}}{1+x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{x^{2}-2+\bruch{2}{x^{2}+1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3}-4+2\arctan(2)
[/mm]
So, stimmt das erstmal ?
Um D zu skizzieren hab ich einfach in ein Koordiantensystem -x und [mm] x^{2} [/mm] eingezeichnet. Die gesuchte Fläche ist dann "in den beiden rechten Quadranten", oben durch die Parabel und unten durch -x beschränkt. Also eine "unendliche" Fläche quasi.
Dann in der nächsten Aufgabe sollen wir das Integral nochmal berechnen, indem wir die Reihenfolge der Integration verändern.
Muss ich dann einfach statt [mm] \integral_{0}^{2}{(\integral_{-x}^{x^{2}}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dy}) dx} [/mm] das hier berechnen: [mm] \integral_{-x}^{x^{2}}{(\integral_{0}^{2}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dx}) dy} [/mm] ?
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Hallo unR34L,
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{D}{f(x) dx}[/mm] mit
>
> f(x,y) = [mm]\bruch{2y}{1+x^{2}}[/mm] und
>
> [mm]D=({(x,y)^{T}\in \IR^{2}: 0 \le x \le 2, -x \le y \le x^2})[/mm]
>
> und skizzieren sie D.
> Hi ! Ich leg einfach mal los.
>
> [mm]\integral_{D}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}{(\integral_{-x}^{x^{2}}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dy}) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{x^{4}-x^{2}}{1+x^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}{x^{2}-2+\bruch{2}{x^{2}+1} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{3}-4+2\arctan(2)[/mm]
>
> So, stimmt das erstmal ?
>
Ja, das stimmt.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Um D zu skizzieren hab ich einfach in ein Koordiantensystem
> -x und [mm]x^{2}[/mm] eingezeichnet. Die gesuchte Fläche ist dann
> "in den beiden rechten Quadranten", oben durch die Parabel
> und unten durch -x beschränkt. Also eine "unendliche"
> Fläche quasi.
>
> Dann in der nächsten Aufgabe sollen wir das Integral
> nochmal berechnen, indem wir die Reihenfolge der
> Integration verändern.
>
> Muss ich dann einfach statt
> [mm]\integral_{0}^{2}{(\integral_{-x}^{x^{2}}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dy}) dx}[/mm]
> das hier berechnen:
> [mm]\integral_{-x}^{x^{2}}{(\integral_{0}^{2}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dx}) dy}[/mm]
> ?
Nein.
Wird die Integrationsreihenfolge vertauscht,
dann sind die Grenzen von x von y abhängig.
Mach Dir also am besten eine Skizze.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 27.10.2009 | | Autor: | unR34L |
> Nein.
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> Wird die Integrationsreihenfolge vertauscht,
> dann sind die Grenzen von x von y abhängig.
>
> Mach Dir also am besten eine Skizze.
Ok, also ich weiß nicht so wirklich wie das gehen soll.
Vllt. so ? Wobei das jetzt etwas ins blaue geraten ist.
$ [mm] \integral_{x}^{-\wurzel{x}}{(\integral_{-2}^{4}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dx}) dy} [/mm] $
Muss ich vllt. noch dx und dy vertauschen ?
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Hallo unR34L,
> > Nein.
> >
> > Wird die Integrationsreihenfolge vertauscht,
> > dann sind die Grenzen von x von y abhängig.
> >
> > Mach Dir also am besten eine Skizze.
>
> Ok, also ich weiß nicht so wirklich wie das gehen soll.
>
> Vllt. so ? Wobei das jetzt etwas ins blaue geraten ist.
Hier mußt Du x als Funktion von y darstellen: [mm]x=x\left(y\right)[/mm]
>
> [mm]\integral_{x}^{-\wurzel{x}}{(\integral_{-2}^{4}{\bruch{2y}{1+x^{2}} dx}) dy}[/mm]
>
> Muss ich vllt. noch dx und dy vertauschen ?
Nein.
Es muss ein Integral der Bauart
[mm]\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{\integral_{x_{1}\left(y\right)}^{x_{2}\left(y\right)}{\bruch{2y}{1+x^{2}} \ dx} \ dy}[/mm]
da stehen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 27.10.2009 | | Autor: | unR34L |
Ok.
Ich bin jetzt soweit, dass ich weiß, ich muss die Ungleichung erstmal umstellen:
-x [mm] \le [/mm] y [mm] \le x^{2}
[/mm]
Daraus folgt:
-x [mm] \le [/mm] y und y [mm] \le x^{2}
[/mm]
Nach x umstellen:
x [mm] \ge [/mm] -y und [mm] \pm\wurzel{y} \le [/mm] x
Nur muss ich das ja irgendwie auf die Form y [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y bringen, nur wie ?
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Hallo unR34L,
> Ok.
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> Ich bin jetzt soweit, dass ich weiß, ich muss die
> Ungleichung erstmal umstellen:
>
> -x [mm]\le[/mm] y [mm]\le x^{2}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> -x [mm]\le[/mm] y und y [mm]\le x^{2}[/mm]
>
> Nach x umstellen:
>
> x [mm]\ge[/mm] -y und [mm]\pm\wurzel{y} \le[/mm] x
>
> Nur muss ich das ja irgendwie auf die Form y [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] y
> bringen, nur wie ?
Wir wissen, die Unter- bzw. Obergrenze von x ( 0 bzw. 2)
Daraus ergibt sich im Fall [mm]-y \le x[/mm],
daß y von -2 bis 0 läuft.
Im Fall [mm]\wurzel{y} \le x[/mm] ergibt sich,
daß y von 0 bis 4 läuft.
Somit hast Du dann auch zwei Integrale zu berechnen.
Gruss
MathePower
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