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Forum "Uni-Analysis" - Integral berechnen
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Integral berechnen: richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 02.05.2005
Autor: Prinzessin83

Guten Abend Leute,

ich habe zum angegebenen Thema eine Aufgabe gerechnet und würde gerne wissen wollen, ob es so ok ist oder ob man es besser machen kann.

[mm] \integral_{}^{} {\bruch{dx}{x \wurzel{1+x^2}} dx} [/mm]

Substitution:
[mm] z^2:=1+x^2 [/mm]
[mm] x=\wurzel{z^2-1} [/mm]
[mm] dx=\bruch{z}{\wurzel{z^2-1}}dz [/mm]

Dann habe ich das Integral
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{z^2-1}} [/mm] dz

Jetzt mit [mm] z=\wurzel{x^2+1} [/mm] resubstituieren:

[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x^2+1-1}} [/mm] dz
[mm] =\bruch{x}{x^2} [/mm]

fertig.

Sind da irgendwo Fehler?

DankeschöN!!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Mo 02.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Prinzessin, trägst du ein richtiges Krönchen?

[willkommenmr]

> Guten Abend Leute,
>  
> ich habe zum angegebenen Thema eine Aufgabe gerechnet und
> würde gerne wissen wollen, ob es so ok ist oder ob man es
> besser machen kann.
>  
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{dx}{x \wurzel{1+x^2}} dx}[/mm]
>  
> Substitution:
>  [mm]z^2:=1+x^2[/mm]
>  [mm]x=\wurzel{z^2-1}[/mm]
>  [mm]dx=\bruch{z}{\wurzel{z^2-1}}dz[/mm]
>  

[ok] Das hätte ich nicht anders gemacht! :-)

> Dann habe ich das Integral
>  [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{z^2-1}}[/mm] dz
>  

[ok] Das sieht doch ganz vernünftig aus!


> Jetzt mit [mm]z=\wurzel{x^2+1}[/mm] resubstituieren:
>  

Du beliebst wohl zu scherzen!

Du kannst doch nicht einfach rücksubstituieren! Dann bekommst du ja theoretisch wieder das gleiche wie am Anfang!

Rücksubstituieren darfst du erst, wenn du das Intergral ausgewertet hast!

Es ist also eine Stammfunktion dieses Integrals zu bestimmen:

[mm] $\integral{\bruch{1}{z^2-1} \, dz}$ [/mm]

Das ist mit der Partialbruchzerlegung zu schaffen. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Partialbruchzerlegung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mo 02.05.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo!

Danke dir für die Antwort.

Das war ein übler Scherz...

Ich muss ehrlich sagen, dass ich von Partialbruchzerlegung keine Ahnung habe. Ich habe mit ihr noch nie gerechnet. Mein Professor erklärte das so abstrakt...

Ist das was ähnliches wie Substitution?
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Bezug
Integral berechnen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mo 02.05.2005
Autor: MathePower

Hallo Prinzessin.


> Ich muss ehrlich sagen, dass ich von Partialbruchzerlegung
> keine Ahnung habe. Ich habe mit ihr noch nie gerechnet.
> Mein Professor erklärte das so abstrakt...
>  
> Ist das was ähnliches wie Substitution?

Nein, das ist wie schon der Name sagt, die Zerlegung eines Bruches in Teilbrüche.

Hier also:

[mm]\frac{1} {{z^{2} \; - \;1}}\; = \;\frac{A} {{z\; - \;1}}\; + \;\frac{B} {{z\; + \;1}}[/mm]

Wobei die Koeffizienten A und B noch bestimmt werden müssen.

Dies erreicht man indem man die Brüche gleichnamig macht.

Und durch Koeffizientenvergleich lassen sich diese Koeffizienten finden.

[mm]1\; = \;A\left( {z\; + \;1} \right)\; + \;B\;\left( {z\; - \;1} \right)[/mm]

Das ergibt dann ein Gleichungssystem:

[mm]\begin{gathered} A\; + \;B\; = \;0 \hfill \\ A\; - \;B\; = \;1 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Sind die Koeffizienten bestimmt, so kann die Stammfunktion berechnet werden.

[mm]\int {\frac{1} {{z^{2} \; - \;1}}} \;dz = \;\int {\frac{A} {{z\; - \;1}}\; + \;\frac{B} {{z\; + \;1}}\;dz} [/mm]

Gruß
MathePower



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Bezug
Integral berechnen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mo 02.05.2005
Autor: Prinzessin83

Hallo MathePower,

auch dir danke.

Für die Koeffizienten habe ich [mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] B=-\bruch{1}{2} [/mm]

$ [mm] \int {\frac{1} {{z^{2} \; - \;1}}} \;dz [/mm] = [mm] \;\int {\frac{A} {{z\; - \;1}}\; + \;\frac{B} {{z\; + \;1}}\;dz} [/mm] $
= [mm] \integral_{}^{} {\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1} -\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1} dz} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}log[-1+z]-\bruch{1}{2}log[1+z] [/mm] + C

Jetzt mit [mm] z=\wurzel{x^2+1} [/mm] resubstituieren:

[mm] =\bruch{1}{2}log[x^2]-\bruch{1}{2}log[2+x^2] [/mm] + C

Wie sieht das denn jetzt aus?




Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Di 03.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Prinzessin

Wo war denn da ein übler Scherz? [verwirrt]

>  
> Für die Koeffizienten habe ich [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]B=-\bruch{1}{2}[/mm]
>  

[ok]

> [mm]\int {\frac{1} {{z^{2} \; - \;1}}} \;dz = \;\int {\frac{A} {{z\; - \;1}}\; + \;\frac{B} {{z\; + \;1}}\;dz}[/mm]
>  
> = [mm]\integral_{}^{} {\bruch{\bruch{1}{2}}{z-1} -\bruch{\bruch{1}{2}}{z+1} dz}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{2}log[-1+z]-\bruch{1}{2}log[1+z][/mm] + C
>  

[ok]

> Jetzt mit [mm]z=\wurzel{x^2+1}[/mm] resubstituieren:
>  
> [mm]=\bruch{1}{2}log[x^2]-\bruch{1}{2}log[2+x^2][/mm] + C
>  

Oh, da lässt sich mein mathematisches Können wohl im Stich! Das fristet aber ohnehin ein Mauerblümchendasein, es ist deshalb nicht erstaunlich, dass ich die Geniestreiche Anderer nicht so richtig nachvollziehen kann.

Ich jedenfalls hätte durch die Rücksubstitution lediglich folgendes erhalten:

[mm] $\bruch{1}{2}\log|z-1| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\log|z+1| [/mm] + C$

[mm] $z=\wurzel{x^2+1}$ [/mm] ergibt

[mm] $\bruch{1}{2}\log|\wurzel{x^2+1}-1| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\log|\wurzel{x^2+1}+1| [/mm] + C$

Einfach mit cut und paste übertragen! ;-)

Vielleicht hätte man auch vorgängig noch folgende Regel anwenden können:

[mm] $\log(a) [/mm] - [mm] \log(b)=\log(\bruch{a}{b})$ [/mm]

Das gäbe dann:

[mm] $\bruch{1}{2}(\log|z-1| [/mm] - [mm] \log|z+1|) [/mm] + [mm] C=\bruch{1}{2}\log\bruch{|z-1|}{|z+1|} [/mm] + C$

Weil wir wissen, dass eigentlich $z_$ ein Wurzelausdruck ist, den Bruch noch erweitern mit $|z-1|_$:

[mm] $\bruch{1}{2}\log\bruch{(z-1)^2}{|z^2-1|} [/mm] + C$

Dann noch die Regel angewendet: [mm] $\bruch{1}{2}\log (a)=\log(\wurzel{a})$: [/mm]

[mm] $\log\bruch{|z-1|}{\wurzel{|z^2-1|}} [/mm] + C$

Und jetzt die Rücksubstitution:

[mm] $\log\bruch{|\wurzel{x^2+1}-1|}{\wurzel{x^2}} [/mm] + [mm] C=\log\bruch{|\wurzel{x^2+1}-1|}{|x|} [/mm] + C$

Hoffentlich kannst du irgend einen meiner Schritte in deiner Musterlösung finden. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
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