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Integral berechnen: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mo 31.01.2011
Autor: Kyrill87

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx} [/mm]

Kann mir jemand zu dem Integral einen Tipp geben?
Ich hab versucht log x gegen y zu substituieren und hatte dann dementsprechend [mm] e^{y} [/mm] unterm Bruchstrich, hab den Bruch auseinander gezogen und es mit partieller Integration versucht, da komm ich aber auf nix gescheites weil ich das Folgeintegral nicht berechnen kann.

        
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:24 Mo 31.01.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Berechnen Sie [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}[/mm]

meinst Du mit [mm] $\log [/mm] x$ den natürlichen, oder den dekadischen Logarithmus?

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Integral berechnen: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mo 31.01.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Kyrill!


Ich unterstelle jetzt mal, dass mit [mm] $\log(x)$ [/mm] auch der natürliche Logarithmus zur Basis $e_$ gemeint ist.

Die Substitution $u \ := [mm] \log(x)$ [/mm] ist doch schon sehr gut.
Anschließend verbleibt auch ein sehr leichtes Integral, welches es zu lösen gilt.

Ansonsten rechne hier mal bitte genau vor.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Di 01.02.2011
Autor: Kyrill87

Okay , dann werd ich jetz mal meine partielle Integration nach der Substitution y:=log(x) vorrechnen:
(Bemerkung: Ich wähle immer die sinus oder cosinusfunktion als f' bei der partiellen integration)

[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]
nochmal partiell integrieren:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot -e^{-y} dy} [/mm]
und nochmal:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-cos(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]
und einmal mehr:
[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-[-sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]
so und ab hier wiederholt sich das integral...
von den eckigen Klammern eliminieren sich die sin(y)-Teile aber man hat trotzdem noch:
[mm] -2\cdot [cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]

so ich hab auch versucht bei der zweiten partiellen integration anders zu wählen:

die erste partielle Integration wie gehabt:
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]

und jetzt sei mein [mm] e^{-y} [/mm] = f'

[mm] [-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy} [/mm]

Aber damit wäre das Integral ja 0... ich kapier nicht wo ich den Fehler mache...

Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Di 01.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Kyrill87,

> Okay , dann werd ich jetz mal meine partielle Integration
> nach der Substitution y:=log(x) vorrechnen:
>  (Bemerkung: Ich wähle immer die sinus oder
> cosinusfunktion als f' bei der partiellen integration)
>  
> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> nochmal partiell integrieren:
>  [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot -e^{-y} dy}[/mm]
>  
> und nochmal:
>  [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{-cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> und einmal mehr:
>  [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot -e^{-y}]_{1}^{e}-[-sin(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> so und ab hier wiederholt sich das integral...
>  von den eckigen Klammern eliminieren sich die sin(y)-Teile
> aber man hat trotzdem noch:
>  [mm]-2\cdot [cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> so ich hab auch versucht bei der zweiten partiellen
> integration anders zu wählen:
>  
> die erste partielle Integration wie gehabt:
>  [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{sin(log x)}{x} dx}=\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}=[-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{cos(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> und jetzt sei mein [mm]e^{-y}[/mm] = f'
>  
> [mm][-cos(y)\cdot e^{-y} ]_{1}^{e}-[-cos(y)\cdot e^{-y}]_{1}^{e}-\integral_{1}^{e}{sin(y)\cdot e^{-y} dy}[/mm]
>  
> Aber damit wäre das Integral ja 0... ich kapier nicht wo
> ich den Fehler mache...


Das geht doch viel einfacher.

Mit der Substitution [mm]y:=\log\left(x\right)[/mm] ergibt sich

[mm]dy=\bruch{1}{x} \ dx[/mm]

Damit ergibt sich das Integral zu:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{sin(log x)}{x} \ dx}=\integral_{}^{}{sin(y)} \ dy}[/mm]

,falls mit log der Logarithmus zur Basis e
(natürlicher Logarithmus) gemeint ist.


Gruss
MathePower



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Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Di 01.02.2011
Autor: Kyrill87

Ach ja... Vielen Dank! Hatte die Sache mit dy/dx ganz vergessen..

Super, Danke

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