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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Zahlentheorie und da kommen hier gerade Integrale vor, und ich verstehe nicht, was genau passiert:
Folgende zwei Abschätzungen möchte ich gerne nachvollziehen können:
c und T sind reelle positive Zahlen, 0<y<1 ebenfalls reell, und s ist komplex, s=a+ib.
[mm] $$|-\frac{1}{2\pi i}\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{y^s}{s}ds+\frac{1}{2\pi i}\int_{c-iT}^{\infty-iT}\frac{y^s}{s}ds| \leq \frac{1}{\pi T}\int_c^\infty y^a [/mm] da [mm] \leq \frac{y^c}{T|\log y|}$$
[/mm]
Die erste Ungleichung sieht mir irgendwie nach Substitution aus, aber die bekomme ich nicht hin. Außerdem weiß ich, dass [mm] $|\frac{y^s}{s}|\leq\frac{y^a}{a}\leq y^a. [/mm] Aber dann weiß ich nicht, wie ich das Integral [mm] \int_{c+iT}^{\infty+iT}y^a [/mm] ds behandeln soll.
Die zweite Ungleichung ist mir auch ein Rätsel. Ich hätte nämlich das Integral folgendermaßen ausgerechnet: [mm] \int_c^\infty y^ada=\frac{1}{c+1}y^{c+1} [/mm] Damit bin ich aber irgendwie noch recht weit von der angegebenen Abschätzung entfernt.
Hat jemand irgendwelche Ideen oder Tipps für mich, was ich hier weiter tun kann?
Danke! 
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Moin,
> c und T sind reelle positive Zahlen, 0<y<1 ebenfalls reell,
> und s ist komplex, s=a+ib.
>
> [mm]|-\frac{1}{2\pi i}\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{y^s}{s}ds+\frac{1}{2\pi i}\int_{c-iT}^{\infty-iT}\frac{y^s}{s}ds| \leq \frac{1}{\pi T}\int_c^\infty y^a da \leq \frac{y^c}{T|\log y|}[/mm]
Erste Ungleichung. Hier passiert schon einiges in einer Abschätzung. Ich habe es nicht genau nachgerechnet, aber im Prinzip passiert in dieser Reihenfolge folgendes:
a) Dreiecksungleichung
b) Verwendet die Ungleichung
[mm] $\left|\int f dx\right|\leq\int [/mm] |f| dx$.
Damit kann man dann vom komplexen Integral auf ein reelles übergehen und
c) [mm] \frac{1}{|s|}\leq\frac{1}{T} [/mm] verwenden.
Dies kann man aus dem Integral natürlich herausziehen.
>
> Die zweite Ungleichung ist mir auch ein Rätsel. Ich hätte
> nämlich das Integral folgendermaßen ausgerechnet:
> [mm]\int_c^\infty y^ada=\frac{1}{c+1}y^{c+1}[/mm]
Das stimmt nicht. Mit [mm] y^a=e^{\ln y*a} [/mm] folgt
[mm] \int y^a da=\frac{y^a}{\ln y}
[/mm]
LG
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> Moin,
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> > c und T sind reelle positive Zahlen, 0<y<1 ebenfalls reell,
> > und s ist komplex, s=a+ib.
> >
> > [mm]|-\frac{1}{2\pi i}\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{y^s}{s}ds+\frac{1}{2\pi i}\int_{c-iT}^{\infty-iT}\frac{y^s}{s}ds| \leq \frac{1}{\pi T}\int_c^\infty y^a da \leq \frac{y^c}{T|\log y|}[/mm]
>
> Erste Ungleichung. Hier passiert schon einiges in einer
> Abschätzung. Ich habe es nicht genau nachgerechnet, aber
> im Prinzip passiert in dieser Reihenfolge folgendes:
>
> a) Dreiecksungleichung
>
> b) Verwendet die Ungleichung
>
Danke für deine Antwort! Zum Großteil habe ich es verstanden. Aber diesen Schritt verstehe ich nicht ganz:
> [mm]\left|\int f dx\right|\leq\int |f| dx[/mm].
>
> Damit kann man dann vom komplexen Integral auf ein reelles
> übergehen und
>
Was genau meinst du mit "man kann vom komplexen Integral auf ein reelles übergehen"? Es ist mir klar, dass im Integranden nun nur noch etwas reelles steht. Aber die Integratiosgrenzen und die Integrationsvariable ist doch immer noch komplex. Wie kann ich damit umgehen? bzw. wie werde ich die los?
Der Rest ist mir dann wieder klar
> c) [mm]\frac{1}{|s|}\leq\frac{1}{T}[/mm] verwenden.
>
> Dies kann man aus dem Integral natürlich herausziehen.
>
> >
> > Die zweite Ungleichung ist mir auch ein Rätsel. Ich hätte
> > nämlich das Integral folgendermaßen ausgerechnet:
> > [mm]\int_c^\infty y^ada=\frac{1}{c+1}y^{c+1}[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Mit [mm]y^a=e^{\ln y*a}[/mm] folgt
>
> [mm]\int y^a da=\frac{y^a}{\ln y}[/mm]
>
> LG
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> Danke für deine Antwort! Zum Großteil habe ich es
> verstanden. Aber diesen Schritt verstehe ich nicht ganz:
>
> > [mm]\left|\int f dx\right|\leq\int |f| dx[/mm].
> >
> > Damit kann man dann vom komplexen Integral auf ein reelles
> > übergehen und
> >
>
> Was genau meinst du mit "man kann vom komplexen Integral
> auf ein reelles übergehen"? Es ist mir klar, dass im
> Integranden nun nur noch etwas reelles steht. Aber die
> Integratiosgrenzen und die Integrationsvariable ist doch
> immer noch komplex. Wie kann ich damit umgehen? bzw. wie werde ich die los?
Es gilt
[mm] \left|\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{y^s}{s}ds\right|\leq\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{|y^s|}{|s|}ds\leq\frac{1}{T}\int_{c+iT}^{\infty+iT}|y^s|ds\leq\frac{1}{T}\int_{c}^{\infty}|y^a|da.
[/mm]
Beachte in der letzten Abschätzung, dass [mm] |c+iT|\geq [/mm] c ist.
Die Abschätzung für [mm] \int_{c-iT}^{\infty-iT}\frac{y^s}{s}ds [/mm] geht analog mit [mm] |c-iT|\geq [/mm] c.
LG
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> > Danke für deine Antwort! Zum Großteil habe ich es
> > verstanden. Aber diesen Schritt verstehe ich nicht ganz:
> >
> > > [mm]\left|\int f dx\right|\leq\int |f| dx[/mm].
> > >
> > > Damit kann man dann vom komplexen Integral auf ein reelles
> > > übergehen und
> > >
> >
> > Was genau meinst du mit "man kann vom komplexen Integral
> > auf ein reelles übergehen"? Es ist mir klar, dass im
> > Integranden nun nur noch etwas reelles steht. Aber die
> > Integratiosgrenzen und die Integrationsvariable ist doch
> > immer noch komplex. Wie kann ich damit umgehen? bzw. wie
> werde ich die los?
>
> Es gilt
>
> [mm]\left|\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{y^s}{s}ds\right|\leq\int_{c+iT}^{\infty+iT}\frac{|y^s|}{|s|}ds\leq\frac{1}{T}\int_{c+iT}^{\infty+iT}|y^s|ds\leq\frac{1}{T}\int_{c}^{\infty}|y^a|da.[/mm]
>
> Beachte in der letzten Abschätzung, dass [mm]|c+iT|\geq[/mm] c
> ist.
Danke für deine Antwort. Aber die letzte Abschätzung ist mir immer noch nicht klar. Ich verstehe irgendwie immer noch nicht, wie ich die komplexen Integrationsgrenzen los werde. Ich sehe ein, dass ich den Integrationsbereich größer mache, wenn ich als Integrationsgrenzen |c+iT| stehen hätte und dann sehe ich die Abschätzung auch ein. Aber ich habe doch erst mal bloß c+iT (ohne Betrag) dort stehen. Wie bekomme ich denn den in die Integrationsgrenzen? Könntest du den Schritt bitte nochmal erklären?
Sorry, wenn ich grad total auf dem Schlauch stehe.
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> Die Abschätzung für
> [mm]\int_{c-iT}^{\infty-iT}\frac{y^s}{s}ds[/mm] geht analog mit
> [mm]|c-iT|\geq[/mm] c.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 30.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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