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Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

Aufgabe
Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

a) [mm] \integral_{0}^{1}{xexp(x^2) dx} [/mm]

[mm] b)\integral_{0}^{2\pi}{xcos(x) dx} [/mm]

c) Bestimmen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2)} dx} [/mm] mit Hilfe der Substitution x=tan(t). Hinweis: Es gilt [mm] cos(2t)=2cos^{2}t-1 [/mm]

Hallo nochmal,

a) und b) hab ich berrechnet und würde mich über eine Korrektur freuen.


zu [mm] a)\integral_{0}^{1}{xexp(x^2) dx} [/mm]

mit Substitution erhalten wir:

[mm] \bruch{1}{2}{\integral_{0}^{1}e^{u} du}=\bruch{1}{2}e [/mm]


zu [mm] )\integral_{0}^{2\pi}{xcos(x) dx}=[x*sinx]^{2\pi}_{0}+[cosx]^{2\pi}_{0}=1+c [/mm]


c) bei c hab ich leider Schwierigkeiten.

mit tan(t)=x

[mm] dx=sec^2(t)dt [/mm]

[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2}}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+tan^2)^2}sec^{2}(t)dt} [/mm]

Ist das richtig? Wenn ja, könnt ihr mir einen Hinweis für den naechsten Schritt geben?

Lg

        
Bezug
Integral bestimmen: zu (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mi 24.10.2012
Autor: Loddar

Hallo Laura!


Bei (a) hast Du noch den Term für $F(0)$ vergessen.
Bedenke, dass gilt [mm] $e^0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .


Gruß
Loddar

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Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

danke hab es ergaenzt ;-)

Bezug
        
Bezug
Integral bestimmen: zu (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mi 24.10.2012
Autor: Loddar

Hallo Laura!


Die Stammfunktion hast Du korrekt bestimmt. Aber dann geht irgendwas schief beim Einsetzen der Grenzen. Es kommt etwas ziemlich "Einfaches" heraus.

Und da es sich hierbei um ein bestimmtes Integral handelt, gibt es auch keine Integrationskonstante $... \ +c_$ .


Gruß
Loddar





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Bezug
Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

wenn ich die Grenzen einsetze  habe ich

[mm] 2\pi*sin2\pi+cos2\pi+c [/mm]

[mm] sin2\pi [/mm] ist 0 und [mm] cos2\pi [/mm] ist 1 oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 24.10.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> wenn ich die Grenzen einsetze  habe ich
>  
> [mm]2\pi*sin2\pi+cos2\pi+c[/mm]

>


Hier hast Du aber nur die Obergrenze [mm]2\pi[/mm] in die Stammfunktion eingesetzt.
  

> [mm]sin2\pi[/mm] ist 0 und [mm]cos2\pi[/mm] ist 1 oder nicht?


Ja.



Gruss
MathePower

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Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

bei x*sinx hab ich es eingesetzt, aber bei cosx vergesssen. Es kommt 0 raus. Danke für den Hinweis!

Bezug
        
Bezug
Integral bestimmen: zu (c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Mi 24.10.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
>  
> c) Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2)} dx}[/mm] mit Hilfe der
> Substitution x=tan(t). Hinweis: Es gilt
> [mm]cos(2t)=2cos^{2}t-1[/mm]
>   Hallo nochmal,
>  

>
> c) bei c hab ich leider Schwierigkeiten.
>
> mit tan(t)=x
>
> [mm]dx=sec^2(t)dt[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{(1+x^2)^2}}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+tan^2)^2}sec^{2}(t)dt}[/mm]
>  


Es gilt: [mm]\sec^{2}\left(t\right)=1+\tan^{2}\left(t\right)[/mm]


> Ist das richtig? Wenn ja, könnt ihr mir einen Hinweis für
> den naechsten Schritt geben?
>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

mit deinem Hinweis hab ich jetzt:

[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^4}sec^2(t) dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^2(t)} dt}= [/mm]

jz bin ich mir unsicher. Ist das, dass gleiche wie [mm] \integral_{0}^{1}{cos^2(t) dt}??? [/mm]

Nach dem Hinweis, müsste ich ja irgendwann auf cos(2t) kommen. Deshalb kommt es mir falsch vor.

Lg

Bezug
                        
Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mi 24.10.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> mit deinem Hinweis hab ich jetzt:
>  


> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^4}sec^2(t) dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{1+sec^2(t)} dt}=[/mm]
>  


Wenn Du den Integranden substituierst,
dann musst Du auch die  Grenzen des Integrals substituieren.


> jz bin ich mir unsicher. Ist das, dass gleiche wie
> [mm]\integral_{0}^{1}{cos^2(t) dt}???[/mm]
>  
> Nach dem Hinweis, müsste ich ja irgendwann auf cos(2t)
> kommen. Deshalb kommt es mir falsch vor.
>  


Als Integrand hattest Du zunächst stehen;

[mm]\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)[/mm]

Da [mm]\sec^{2}\left(t\right)=1+\tan^{2}\left(t\right)[/mm] steht dann da:

[mm]\bruch{1}{\left(1+\tan^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)=\bruch{1}{\left(\sec^{2}\left(t\right)\right)^{2}}*\sec^{2}\left(t\right)=\bruch{1}{\sec^{2}\left(t\right)}=\cos^{2}\left(t\right)[/mm]


> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integral bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

nun folgt :

[mm] cos^2(t)=\bruch{1}{2}(1+cos(2t) [/mm]

nun erhalte ich die Stammfunktion:

[mm] \bruch{1}{2}t+\bruch{1}{4}sin(2t) [/mm]

mit sin(2t)=2sin(t)cos(t) folgt [mm] \bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}sin(t)cos(t) [/mm]

mit der Rücksubstitution und einigen Umformungen erhalte ich:

[mm] \bruch{1}{2}arctan(x)+\bruch{1}{2}(\bruch{x}{(1+x^2)}) [/mm]

nun nur noch die Grenzen einsetzen.

Hier setze ich ja die gegebenen Grenzen ein, weil ich rücksub. habe. Bei den einzelnen Schritten muss ich aber, wie du erwaehnt hast, die Grenzen auch subsituieren. Da hab ich jedoch gerade Schwierigkeiten. Wie peinlich es auch ist, mein Hirn ist gerade stehen geblieben. Sind die in diesem Fall nicht gleich?




Bezug
                                        
Bezug
Integral bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 24.10.2012
Autor: MathePower

Hallo Laura87,

> nun folgt :
>  
> [mm]cos^2(t)=\bruch{1}{2}(1+cos(2t)[/mm]
>  
> nun erhalte ich die Stammfunktion:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{4}sin(2t)[/mm]
>  
> mit sin(2t)=2sin(t)cos(t) folgt
> [mm]\bruch{1}{2}t+\bruch{1}{2}sin(t)cos(t)[/mm]
>  
> mit der Rücksubstitution und einigen Umformungen erhalte
> ich:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}arctan(x)+\bruch{1}{2}(\bruch{x}{(1+x^2)})[/mm]
>  
> nun nur noch die Grenzen einsetzen.
>  
> Hier setze ich ja die gegebenen Grenzen ein, weil ich
> rücksub. habe. Bei den einzelnen Schritten muss ich aber,
> wie du erwaehnt hast, die Grenzen auch subsituieren. Da hab
> ich jedoch gerade Schwierigkeiten. Wie peinlich es auch
> ist, mein Hirn ist gerade stehen geblieben. Sind die in
> diesem Fall nicht gleich?
>  


Da die Stammfunktion durch Rücksubstitution ermittelt worden ist,
sind auch die gegebenen Grenzen zu verwenden.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integral bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 Mi 24.10.2012
Autor: Laura87

Vielen dank für deine Hilfe!

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